|
|||
Escoamento laminar em tubos (equação de Poiseuille)
| Topo pág | Fim pág |O escoamento entre placas visto na página anterior é de pouco interesse prático. Casos comuns são escoamentos em tubos, em especial nos de seção circular. Na Figura 01 representa-se o corte para um fluxo, supostamente laminar, em um tubo redondo de diâmetro D (= 2R). A parte (a) indica um filete cilíndrico de raio r e comprimento ΔL do fluido escoado.
A área da seção transversal do filete é
π r2 e a área lateral é 2 π r ΔL.De forma similar ao tópico Escoamento laminar entre placas paralelas, deve-se ter resultante nula das forças:
Δp π r2 = − τ 2 π r ΔL.Conforme tópico Viscosidade e camada limite,
η = viscosidade dinâmica = τ dy / dc. De outra forma, τ = η dc/dy.Onde c é a velocidade da camada e y a distância vertical.
Para este caso,
y = R − r. Calculando a diferencial, dy = − dr. Portanto,τ = − η dc/dr. Substituindo na anterior,
|
| Figura 01 |
Δp π r2 = η (dc/dr) 2 π r ΔL.Simplificando e rearranjando,
dc = [Δp/(2 η ΔL)] r dr.Para resolver, deve-se integrar de c = 0 (onde r = R) até um valor genérico c (onde r = r).
| ∫ | c | dc = | Δp | ∫ | r | r dr | |
| 0 | 2 η ΔL | R |
| c − 0 = | Δp | ( | r2 | − | R2 | ) |
| 2 η ΔL | 2 | 2 |
| c = | Δp | (r2 − R2) | #A.1#. |
| 4 η ΔL |
Portanto, a distribuição de velocidade tem forma de parábola e graficamente é indicada em (b) da figura.
A velocidade máxima ocorre para r = 0:
| cmax = − | Δp | R2 | #A.2#. |
| 4 η ΔL |
A altura média de uma parábola é igual à metade da máxima. Assim, a velocidade média é dada por:
| cmed = − | Δp | R2 | #A.3#. |
| 8 η ΔL |
Para tubos, é mais usual a especificação do diâmetro D (= 2R) e o comprimento é comumente simbolizado por L e não ΔL. Substituindo da fórmula anterior,
| cmed = − | Δp | D2 | #A.4#. |
| 32 η L |
A vazão volumétrica Q é dada pelo produto da velocidade média pela área da seção transversal:
| Q = cm | π D2 | #B.1#. | |
| 4 |
Substituindo cm conforme igualdade anterior,
| Q = − | Δp π D4 | #C.1#. | |
| 128 η L |
Se consideradas p1 e p2 as pressões no início e no fim do tubo, Δp = p2 − p1 (é negativo porque a pressão no fim é menor devido à resistência do escoamento). Assim p1 − p2 = − Δp. Isolando Δp da igualdade anterior e substituindo por esse valor,
| p2 − p1 = | 128 η L Q | #D.1#. | |
| π D4 |
Essa fórmula dá, portanto, a perda de pressão do escoamento laminar para uma vazão volumétrica Q de um fluido com viscosidade dinâmica η em um tubo retilíneo de comprimento L e diâmetro interno D. É conhecida como equação de Poiseuille em homenagem ao seu formulador, o físico francês Jean Louis Marie Poiseuille (verificou experimentalmente em 1838 e publicou em 1840 e 1846).
Desde que a maioria dos escoamentos reais são turbulentos e tubulações têm em geral curvas e outros acessórios, as aplicações práticas dessa fórmula simples são limitadas. Mas tem emprego em casos como medição de viscosidade.
Exemplo 01: um tubo reto de diâmetro 100 mm conduz óleo de viscosidade dinâmica 0,018 Pa s e massa específica 900 kg/m3. Determinar a perda de pressão por unidade de comprimento e a velocidade média do escoamento sabendo que o número de Reynolds é 250.
Da definição de número de Reynolds,
Re = c D / ν = c D / (η / ρ) = c D ρ / η. Portanto, 250 = c 0,1 900 / 0,018.Assim,
c = 0,05 m/s, que deve ser a velocidade média cmed do fluxo.De #A.3#,
cmed = − [Δp/(8 η ΔL)] R2. Substituindo, 0,05 = − Δp (0,1/2)2 / (8 0,018 1).Δp (0,1/2)2 = − 0,05 8 0,018 1 = 0,0072. Portanto, perda de pressão = 2,88 Pa por metro.Exemplo 02: um óleo de massa específica 800 kg/m3 flui através de um tubo de diâmetro 1 mm e comprimento 30 mm. Determinar a viscosidade do óleo considerando que um desnível de 30 mm produz uma vazão de 8 mm3/s.
Um desnível em altura h significa, conforme equação de Bernoulli, uma diferença de pressão
Δp = ρ g h, onde ρ é massa específica do fluido e g aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s2).Neste caso
Δp = 800 9,81 30 10−3. Usando a igualdade anterior #D.1#,800 9,81 30 10−3 = 128 η 30 10−3 8 10−9 / (π 1 10−12). Resolvendo, a viscosidade dinâmica éη ≈ 0,024 Pa s.E a viscosidade cinemática é dada por:
ν = η/ρ = 0,024 / 800 = 3 10−5 m2/s.Exemplo: cilindro e eixo giratório
| Topo pág | Fim pág |Em (a) da Figura 01 é dado o corte lateral de um arranjo simples para medição de viscosidade: um cilindro fixo de raio R2 contém um eixo de raio R1 que gira com velocidade angular constante ω. Entre ambos há um fluido cuja ação da viscosidade provoca tensões tangenciais exigindo um torque T para manter o eixo em movimento giratório.
Consideram-se apenas as ações entre as superfícies laterais do eixo e do cilindro. Naturalmente, há deslizamento do fluido no fundo do cilindro, mas isso pode ser desprezado se a diferença R2 − R1 é supostamente pequena e a altura h, grande.
No corte transversal (b) da figura, o raio r define uma circunferência genérica entre R1 e R2. Na parede do eixo (r = R1) a velocidade do fluido deve ser ω R1. Na parede do cilindro (r = R2) a velocidade do fluido deve ser nula.
Conforme tópico Viscosidade e camada limite,
η = viscosidade dinâmica = τ dy / dc. Ou τ = η dc/dy. Neste caso, a variável y corresponde ao r. Assim,
|
| Figura 01 |
| τ = η | dc |
| dr |
Se, conforme mencionado, a diferença
R2 − R1 é pequena, pode-se supor uma variação linear de velocidade e, então,| τ = η | Δc | . | Onde: |
| Δr |
Δc = 0 − ω R1 = − ω R1.Δr = R2 − R1.Substituindo na anterior,
| τ = − η ω | R1 |
| R2 − R1 |
Multiplicando essa tensão de cisalhamento pela superfície do eixo, obtém-se a força tangencial nele atuante,
F = 2 π R1 h τ, que deve ser igual em sinal oposto a T (torque) dividido por R1 (força para contrabalançar). Portanto,| F = 2 π R1 h τ = − 2 π R1 h η ω | R1 | = − | T |
| R2 − R1 | R1 |
Rearranjando a igualdade,
| η = T | R2 − R1 | #A.1#. | |
| 2 π h ω R13 |
Portanto, a viscosidade aproximada do fluido pode ser obtida a partir dos parâmetros geométricos e do torque necessário para manter uma determinada rotação do eixo.
Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
|
Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso |