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Viscosidade e camada limite
| Topo pág | Fim pág |Ao contrário dos sólidos, as forças de atração entre as moléculas dos fluidos não são suficientes para manter a rigidez do conjunto. Pode-se então dizer que, sob ação de uma força, camadas elementares de um fluido sofrem ação de cisalhamento entre si.
O conceito de viscosidade já foi visto de forma simplificada em página anterior desta série. Aqui é apresentada uma formulação mais completa, considerando o cisalhamento entre duas camadas elementares de fluido conforme Figura 01. No lugar de força, emprega-se a grandeza tensão (força por área), procedimento usual em análise de deformações.
Então, sob ação de uma tensão de cisalhamento τ, a camada superior se desloca dx em relação à inferior (dX é a largura comum de ambas as camadas). A velocidade da camada inferior (c) aumenta para (c + dc) na superior.
Considera-se a grandeza deformação por cisalhamento γ igual à relação entre a deformação horizontal e a altura da camada deformada:
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| Figura 01 |
| γ = | dx | #A.1#. | |
| dy |
Derivando em relação ao tempo,
dγ / dt = dx / (dy dt) = (dx / dt) / dy. Mas dx/dt é a variação de velocidade dc entre as camadas:| dγ | = | dc | #A.2#. | |
| dt | dy |
A grandeza
dγ/dt pode ser vista como a velocidade da deformação por cisalhamento. Experimentalmente verificou-se que há uma proporcionalidade entre a tensão e a velocidade da deformação por cisalhamento:| τ = η | dγ | #B.1#. | |
| dt |
Essa relação é denominada lei da viscosidade de Newton (por isso, um fluido que obedece a essa lei é denominado fluido newtoniano).
O fator de proporcionalidade η é a viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica do fluido. Considerando a igualdade anterior #A.2#, pode-se substituir em #B.1#:
| τ = η | dc | #B.2#. | |
| dy |
A viscosidade cinemática ν é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica:
| ν = | η | #C.1#. | |
| ρ |
A relação #B.1# pode ser entendida como uma evidência matemática da diferença prática entre sólidos e fluidos já comentada em página anterior: nos primeiros, a força (ou tensão) determina a intensidade da deformação e, nos segundos, a velocidade da deformação.
| Unidade SI | Outras | |
| Viscosidade dinâmica | N s / m2 ou Pa s. Também denominada poiseuille (PI) | A unidade não SI poise equivale a 10−1 N s/m2 |
| Viscosidade cinemática | m2 / s | A unidade não SI stoke (St) equivale a 10-4 m2/s |
A medição prática de viscosidade é feita por instrumentos próprios denominados viscosímetros, que não são objeto desta página. Há vários tipos, fundamentados na medição direta de forças ou de outros parâmetros como tempo para queda de um corpo no fluido, tempo de escoamento de determinado volume, etc. Em vários deles, os resultados são dados em unidades específicas para cada tipo (Redwood, Engler, Saybolt, etc), que podem ser facilmente convertidas para unidades SI através de fórmulas e/ou gráficos.
Tabela para viscosidades cinemáticas aproximadas a 20ºC de alguns líquidos. Em centistokes (= 10−2 St = 10−6 m2/s).
| Líquido | Água | Leite | Óleo combustível | Óleo vegetal | Óleo SAE-10 | Óleo SAE-30 | Glicerina | Óleo SAE-50 | Mel | Óleo SAE-70 |
| ν (cSt) | 1 | 4 | 16 | 43 | 110 | 440 | 650 | 1735 | 2200 | 19600 |
Estuda-se agora o comportamento individual de uma camada. Naturalmente, é suposto um escoamento uniforme, com velocidade constante em cada ponto. Assim, a resultante das forças atuantes em cada camada deve ser nula.
Na Figura 01,
p + dp e p são as pressões atuantes em cada extremidade da camada. O resultado líquido é dp e a força decorrente édp dy Z.Para a tensão de cisalhamento, deve-se considerar uma variação
dτ entre camadas e, portanto, uma força dτ dX Z. Para resultante nula,dp dy Z + dτ dX Z = 0. De outra forma, dp dy − dτ dX = 0. Reagrupando,| dτ | = | dp | #C.1# | |
| dy | dX |
No escoamento de fluidos, é usual supor que a diferença de pressão dp varia linearmente com a distância. Assim, para um determinado fluido e escoamento,
dp/dX não varia.
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| Figura 02 |
| Então, | dp | = k (constante). |
| dX |
| Isolando τ de #B.2#, | τ = η | dc | Portanto, | |
| dy |
| d( η dc/dy ) | = k |
| dy |
| η | d2c | = k | #C.2#. Onde | k = | dp | (constante). |
| dy2 | dX |
Essa equação diferencial pode ser resolvida pela dupla integração, chegando-se ao resultado:
| k | y2 = η c + A y + B | #C.3#. |
| 2 |
As constantes de integração A e B precisam ser determinadas a partir das condições de contorno. Na maioria dos casos práticos, o escoamento é limitado por uma superfície sólida (paredes do conduto). Se y = 0 é um ponto na parede, deve-se ter c = 0. Portanto,
B = 0 #C.4#.A velocidade c não pode aumentar indefinidamente. Assim, deve existir uma altura
y = e, onde a velocidade atinge um máximo c0. Substituindo em #C.3#, chega-se a| A = | k | e − η | c0 | #C.5#. | |
| 2 | e |
Substituindo A e B em #C.3# e reagrupando,
| c = | k | y2 − | [ | e k | − | c0 | ] y | #C.6#. |
| 2 η | 2 η | e |
| Onde | k = | dp | (constante). |
| dX |
Notar que o resultado é a expressão matemática de uma parábola e há uma infinidade de valores para e. Mas é apenas uma aproximação, porque, na realidade, os escoamentos não se comportam rigorosamente de acordo com as hipóteses presumidas.
Na prática considera-se que, para y = e, deve-se ter
c = 0,99 c0 #C.7#. Onde c0 é a velocidade do fluxo.Dize-se então que esse valor (e) define a espessura da camada limite do escoamento. É um conceito importante no estudo dos escoamentos, uma vez que é possível supor a existência de gradientes de velocidade apenas no interior da camada limite. Uma distribuição típica de velocidades na camada limite pode ser vista no gráfico da Figura 02.
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