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Princípio de Arquimedes

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Um corpo submerso em um fluido sofre um empuxo vertical igual ao peso do volume de líquido deslocado (Figura 01).

Figura 01

Na figura:

V: volume do corpo.
P: peso do corpo.
F: empuxo devido ao fluido.

P e F estão deslocados para maior clareza, mas ambos atuam na direção do centro de gravidade do corpo.

Considerando:

m: massa do corpo.
g: aceleração da gravidade.
ρ: massa específica do fluido.

De acordo com o princípio de Arquimedes,

F = ρ g V  #A.1#.

E o peso do corpo é

P = m g  #A.2#.

As seguintes situações são possíveis:

• Se P > F, o corpo vai para o fundo.
• Se P = F, o corpo fica em equilíbrio.
• Se P < F, o corpo flutua na superfície.

Figura 02

No caso de P > F, é possível imaginar um arranjo conforme Figura 02. Se um corpo de massa M equilibra o corpo submerso, ocorre a igualdade:

M g = P − F = m g − ρ g V  #B.1#.

A massa específica do corpo submerso é

ρC	=	m		#B.2#
		V

Combinando com a igualdade anterior e simplificando,

ρC	= ρ	1		#B.3#
		1 − M/m

Corpos flutuantes - Alguns conceitos

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Seja um corpo de seção retangular flutuando conforme Figura 01 e os pontos:

G_c: centro de gravidade do corpo.
G_s: centro de gravidade da seção submersa do corpo.

Figura 01

Se o corpo é inclinado, G_s muda de posição e o centro de curvatura da trajetória de G_s é um ponto M, denominado metacentro.

Para inclinações pequenas (< 15º) a posição de M é praticamente constante.

Se M está acima de G_c, o conjugado do peso P do corpo e empuxo F faz o corpo retornar à condição inicial. A distância MG_c (altura metacêntrica) deve ser a menor possível para evitar oscilações rápidas. Em barcos, normalmente menor que 1 m.

Esforços em reservatórios

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Seja, conforme Figura 01, um reservatório cilíndrico horizontal, representado em corte transversal na figura, com os parâmetros:

ℓ: comprimento.
D: diâmetro.
e: espessura da parede (<< D).
p: pressão interna.

Deseja-se saber a tensão nas paredes do cilindro.

Considera-se o plano hipotético c, dividindo o cilindro em duas partes iguais. Na parte inferior, a força vertical devido à pressão em cada área infinitesimal dS é

p dS cos φ  #A.1#.

E a área infinitesimal é dS = ℓ (D/2) dφ  #A.2#.

Figura 01

Assim,

F = 2 ∫0...π/2 p dS =

2 ℓ (D/2) p ∫0...π/2 cos φ dφ = ℓ D p  #A.3#.

Cada seção da parede no plano c irá suportar uma força igual a F/2. Assim, a tensão será:

σ = (F/2) / (e ℓ) = ℓ D p / (2 e ℓ)  #A.4#.

Simplificando,

σ =	D p		#A.5#
	2 e

Essa igualdade é também denominada fórmula da caldeira e só vale se a espessura da parede for pequena em relação ao diâmetro.

Figura 02

No caso de reservatório cilíndrico vertical, conforme Figura 02, cheio de líquido e sujeito apenas à ação da gravidade, a pressão varia com a altura. Assim, a tensão nas parede do cilindro irá variar, chegando ao máximo junto à base do reservatório.

Para calcular em cada altura, basta substituir o valor de p pela fórmula da pressão, ou seja,

σ =	D ρ g h		#B.1#
	2 e

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