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Fluidos : Teorema do transporte de Reynolds Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Referências lagrangeana e euleriana | Teorema do transporte de Reynolds |

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Referências lagrangeana e euleriana

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No estudo dos fluidos, há duas referências básicas para a descrição de uma propriedade genérica:

• Na descrição lagrangeana, a propriedade refere-se a uma partícula que segue o seu movimento na corrente do fluido. É adotado um símbolo próprio para a derivada em relação ao tempo:

#A.1# (denominada derivada substancial ou derivada material)

• Na descrição euleriana, a propriedade refere-se a um ponto fixo no espaço, no interior da corrente do fluido. É usado o símbolo de derivada parcial para a derivada em relação ao tempo:

#B.1#

Como exemplo prático, sejam estes dois meios de se medir a variação da temperatura da água de um rio: um termômetro preso a um flutuador que a acompanha a corrente (lagrangeana) e um termômetro fixo em determinado local (euleriana).


Para uma propriedade genérica φ, conforme visto na página Equações de Navier-Stokes - Pg 1, a relação entre as variações lagrangeana e euleriana é dada por:

#C.1#

Onde ux uy uz são os componentes do vetor velocidade u, isto é:

u = ux i + uy j + uz k  #C.2# (i j k são vetores unitários nos eixos de coordenadas)


Com o uso de operadores vetoriais, a relação #C.1# pode ser escrita de forma compacta:

#D.1#

O termo u·Φ é denominado variação convectiva da propriedade Φ.

Teorema do transporte de Reynolds

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Este tópico começa com a lembrança da classificação de propriedades, de uso na Temodinâmica e na Mecânica dos Fluidos:

• Propriedade extensiva é uma grandeza que depende diretamente da massa do sistema (exemplos: energia interna, volume, etc).

• Propriedade intensiva é uma grandeza que depende apenas do estado do sistema e não da massa (exemplos: massa específica, pressão, temperatura, etc).

Vale também lembrar conceito de volume de controle (VC), uma abstração matemática dada por um volume no espaço, pelo qual o fluido escoa. A superfície que envolve o volume de controle é denominada superfície de controle (SC).


O teorema do transporte de Reynolds estabelece a correspondência entre uma propriedade de uma porção fixa de massa na referência lagrangeana e a equivalente na referência euleriana.

Seja B uma propriedade extensiva de um sistema, como massa, energia, momento. E seja β a propriedade intensiva correspondente, isto é, a propriedade extensiva por unidade de massa. Considerando m massa, ρ massa específica e V volume, pode-se escrever as relações:

#A.1#

E o teorema do transporte de Reynolds pode ser dado na forma:

#B.1#

Onde u é velocidade relativa ao volume de controle e dS é vetor normal à superfície dS e de módulo dS.

E as parcelas podem ser descritas como:

	Variação total de uma propriedade extensiva do sistema.
	Variação da propriedade extensiva no interior do volume de controle, medida por um observador que acompanha o movimento do volume de controle.
	Variação líquida da propriedade extensiva através da superfície de controle.

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