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Fluidos : Equações de Navier-Stokes - Pg 4Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Forma genérica | Forma para fluido newtoniano incompressível | |
Forma genérica
| Topo pág | Fim pág |A tabela abaixo relaciona os parâmetros para um volume elementar de fluido conforme desenvolvimento das páginas anteriores:
| Aceleração |  |
#A.1# | |
| Forças de pressão por volume |  |
#A.2# | |
| Forças de viscosidade por volume |  |
#A.3# | |
| Força de um campo externo por volume |  |
#A.4# |
De acordo com a segunda lei de Newton, a massa de um corpo multiplicada pela aceleração é igual à resultante das forças nele atuantes. Não se pode fazer diretamente a igualdade com as equações acima porque a primeira é aceleração e as outras são forças por unidade de volume. Entretanto, se a aceleração (#A.1#) é multiplicada pela massa específica do fluido (ρ), o resultado é força por volume e pode ser igualado à soma das demais:
#B.1#Essa fórmula é genérica e pode ser aplicada a qualquer material, fluido ou não. Lembrando agora os símbolos de grandezas e operadores,
| ρ | Massa específica | |
| D/Dt | Derivada substancial | |
| u | Velocidade (vetor) | |
 |
Gradiente (operador vetorial) | |
| p | Pressão | |
| · |
Divergência (operador vetorial) | |
| τ | Matriz das tensões de viscosidade | |
| g | Aceleração da gravidade | |
| k | Vetor unitário no eixo Z (vertical) |
Expandindo os operadores da equação #B.1# conforme visto nos respectivos tópicos, as equações para as coordenadas cartesianas são:
#B.2#Notar que a força de campo externo é supostamente a gravidade e o eixo Z é considerado vertical. Assim, ela atua apenas nesse eixo.
Cabe também observar que há mais variáveis do que equações e, portanto, há necessidade de outras hipóteses para uma solução.
Forma para fluido newtoniano incompressível
| Topo pág | Fim pág |Para um fluido incompressível, conforme dado na página Equação da continuidade,
#A.1#. Ou seja,
#A.2#Para um fluido newtoniano, vale a relação:
#B.1#. Onde:τ: tensão de cisalhamento
μ: coeficiente de viscosidade
u: velocidade
h: distância transversal
Omitindo o desenvolvimento matemático a partir das equações acima, a seguinte relação é obtida para as forças de viscosidade:
#C.1#Onde o operador
2, denominado Laplaciano, é definido por:
#D.1#Então, a equação #B.1# do tópico anterior toma a forma:
#E.1#Usando as definições dos operadores,
#E.2#As igualdades acima (#E.1# ou #E.2#) formam as equações de Navier-Stokes para um fluido newtoniano incompressível.
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