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Forças de viscosidade

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No escoamento de um fluido real, há sempre atritos internos que se opõem ao movimento. São as chamadas forças de viscosidade, que produzem tensões nas superfícies de qualquer partícula do fluido.

Figura 01

Desde que não se trata de forças de pressão, a aplicação não é necessariamente normal à superfície. Assim, numa situação genérica, deve ser considerado uma direção qualquer de atuação.

A Figura 01 representa um volume elementar de fluido em forma de paralelepípedo.

As forças atuantes em cada face são decompostas nas direções dos eixos de coordenadas e são consideradas em termos de tensões, isto é, força por área da superfície onde atua.

Assim, em cada face atuam uma tensão normal e duas tensões transversais.

As tensões são identificadas pela letra grega tau com dois índices: o primeiro identifica a superfície (eixo ao qual ela é perpendicular) e o segundo indica o eixo de coordenada da tensão. Exemplo: τ_xy significa tensão na superfície perpendicular ao eixo X e na direção do eixo Y.

Para um volume infinitesimal, pode-se supor que as tensões em faces opostas tenham o mesmo valor absoluto. Dessa forma, as tensões no elemento ficam definidas pelos 9 componentes exibidos na figura, que formam uma matriz 3×3, que é denominada tensor do elemento:

#A.1#

Por questão de clareza da figura, os valores da matriz estão indicados nas faces, mas devem ser considerados no centro. Assim, por exemplo, a tensão τ_zx na face superior deve ser:

#A.2#

E na face inferior,

#A.3#

E as forças devido a essas tensões são:

#A.4#

#A.5#

Essas forças agem em sentidos opostos. Portanto, a força líquida ao longo do eixo X decorrente da tensão τ_zx é calculada por:

#A.6#

As demais tensões que produzem esforços no eixo X são τ_xx e τ_yx. Usando procedimento similar e somando todas, a força de viscosidade resultante no eixo X é dada por:

#A.7#

O cálculo é análogo para os demais eixos. E o vetor da força total por unidade de volume devido à viscosidade é

#A.8#

Considera-se agora a definição do operador vetorial divergência:

#A.9#

Onde f é uma função vetorial qualquer. Conclui-se então que a fórmula anterior #A.8# pode ser dada de forma compacta pela divergência da matriz de tensões #A.1#:

#A.10#


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