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Fluidos : Equações de Navier-Stokes - Pg 1



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As equações de Navier-Stokes são relações fundamentais para o estudo do escoamento de fluidos viscosos. Elas são o resultado da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento do fluido. Esta pequena série de páginas trata cada termo importante em tópicos separados, que são depois agrupados na forma final das igualdades.


Aceleração

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O conceito de derivada substancial pode ser explicado com auxílio de um exemplo que usa uma grandeza escalar (temperatura, neste caso):

Seja um corpo aquecido, que é deixado em repouso num ambiente calmo. Nessa condição, a temperatura deverá ser apenas função do tempo T(t). Se esse corpo for arremessado em uma direção qualquer na atmosfera, a temperatura irá depender do tempo e das coordenadas físicas, uma vez que a temperatura da atmosfera varia de acordo com a posição. Assim, a função será T(t, x, y, z).

Uma variação de temperatura do corpo pode então ser dada pela soma das contribuições individuais:

ΔT = ΔTt + ΔTx + ΔTy + ΔTz #A.1#

Multiplicando e dividindo cada parcela por incrementos,

#A.2#

Tomando o limite da variação de temperatura em relação ao tempo,

#A.3#

No lado direito da igualdade acima, as frações que antecedem as variações em relação a x, y e z são os componentes da velocidade u do corpo, isto é, ux, uy e uz. Substituindo as variáveis, tem-se então a derivada substancial da grandeza T, simbolizada conforme se segue.

#A.4#

No lado direito da relação acima, a primeira parcela indica a variação que ocorreria na ausência de movimento (variação local). E as três últimas parcelas formam a variação convectiva, isto é, a variação devido à variação de posição na atmosfera, que ocorreria mesmo se o corpo não fosse aquecido.


No caso de uma partícula de fluido, o uso da derivada substancial da velocidade em relação ao tempo (aceleração) é significativo, pois separa as partes dependente do tempo e dependente do local.

Desde que a velocidade u é uma grandeza vetorial, as equações da derivada substancial são mais complexas porque precisam ser feitas para cada componente. Seja então o vetor velocidade:

#B.1#

Onde i j k são os vetores unitários nos eixos de coordenadas. Assim,

#B.2#

Onde a é aceleração. E a igualdade #A.4# aplicada a cada componente resulta em:

#B.3#

Considerando as colunas indicadas A e B, a fórmula acima é representada na forma compacta:

#B.4#

Onde o operador do último termo equivale a:

#B.5#

Portanto, na igualdade #B.4#, o termo u·u representa a parte convectiva da aceleração.


Observação

A relação anterior #B.4# é genérica, podendo ser aplicada a uma função vetorial f:

#C.1#

A derivada substancial (também denominada derivada lagrangeana, derivada material ou derivada total) relaciona um sistema de referência langrageano com um sistema de referência euleriano. Numa analogia prática, o sistema lagrangeano seria o caso de um observador analisar o fluxo de um rio em um barco que acompanha a corrente e, no sistema euleriano, o observador estaria fixo, em um local na margem do rio.


Exemplo: o campo de velocidade de um escoamento é dado por:

ux = 3 x2 t + y
uy = x y t − t2
uz = 0

Com os dados acima e considerando unidades SI (m, s), determinar:

1) A aceleração medida por um observador estacionário a x = 2 m, y = 3 m e tempo t = 2 s.
2) A aceleração de um elemento fluido no mesmo local e tempo anteriores.

Solução: desde que uz é nulo, consideram-se apenas os eixos X e Y. As derivadas parciais em relação ao tempo são:

∂ux/∂t = 3 x2
∂uy/∂t = x y − 2 t

Para a pergunta 1, a resposta é a variação local da aceleração, u/dt, coluna A de #B.3#:

u/dt = (∂ux/∂t) i + (∂uy/∂t) j. Substituindo as expressões com os valores dados de x, y e t,

u/dt = (3 22) i + (2 3 − 2 2) j = 12 i + 2 j

Para a pergunta 2, a resposta é a derivada substancial Du/Dt. Desde que a parcela local já está acima calculada, deve-se determinar a parcela convectiva u·u, conforme coluna B da relação #B.3#.

As derivadas parciais, com a substituição dos valores, são:

∂ux/∂x = 6 x t = 24
∂ux/∂y = 1
∂uy/∂x = y t = 3 2 = 6
∂uy/∂y = x t = 2 2 = 4

E as velocidades são:

ux = 3 x2 t + y = 3 22 2 + 3 = 27
uy = x y t − t2 = 2 3 2 − 22 = 8

Substituindo em B de #B.3#,

u·u = (27 24 + 8 1)i + (27 6 + 8 4)j = 656 i + 194 j

E o resultado final é

Du/Dt = ∂u/dt + u·u = 12 i + 2 j + 656 i + 194 j = 668 i + 196 j


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