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Exemplo: pêndulo simples

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Desprezando os atritos, pode-se a princípio supor que as grandezas envolvidas na oscilação de um pêndulo comum conforme Figura 01 são:

g   aceleração da gravidade
ℓ   comprimento da haste
m   massa do pêndulo
T   período de oscilação

Assim, n = 4 grandezas. As dimensões dessas grandezas são:

Figura 01

[g] = LT−2
[ℓ] = L
[m] = M
[T] = T

Há, portanto, k = 3 grandezas básicas (LMT).

Segundo Teorema de Buckingham (teorema dos πs), deve haver 4 − 3 = 1 grandeza adimensional, que representa o processo, na forma:

F(Π) = 0 

Onde Π = ga ℓb mc Td. Desde que é adimensional, a substituição das dimensões individuais deve resultar na unidade:

[Π] = (LT−2)a (L)b (M)c (T)d = 1

Os expoentes podem ser facilmente deduzidos, com os resultados:

a = 1   b = −1   c = 0   d = 2.

Portanto,

F(gT2/ℓ) = 0 deve ser a função que representa o fenômeno. Uma solução lógica é

gT2/ℓ = k2

Através do desenvolvimento teórico ou de medições práticas, pode ser visto que k = 2π. Assim,

T = 2 π √(ℓ / g) 

Essa é a função que dá o período de oscilação de um pêndulo simples para pequenos deslocamentos e na ausência de atritos.

Exemplo: esfera em meio fluido

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Seja, conforme Figura 01 deste tópico, uma esfera que se move com velocidade constante em um meio de fluido viscoso. Determinar a relação para a força de resistência ao movimento F.

As grandezas que têm influência no processo são:

c   velocidade da esfera
D   diâmetro da esfera
η   viscosidade dinâmica do fluido
F   força de resistência ao movimento
ρ   massa específica do fluido

Portanto, n = 5 grandezas. As suas dimensões são:

Figura 01

[c] = LT−1
[D] = L
[η] = ML−1T−1
[F] = MLT−2
[ρ] = ML−3

Usando uma formulação segundo #A.2# do tópico Teorema de Buckingham (teorema dos πs),

F = φ(c, D, η, ρ)

Considerando essa função uma constante multiplicada pelo produto das grandezas com expoentes,

F = K cr Ds ηt ρu

Fazendo a igualdade dimensional,

MLT−2 = LrT−r Ls MtL−tT−t MuL−3u = Mt+u Lr+s−t−3u T−r−t

 1 =  t + u
 1 =  r + s − t − 3u
−2 = −r − t

O conjunto acima tem mais incógnitas que equações e, portanto, não há uma única solução. Em razão de a força resistente ser relacionada com a viscosidade, os expoentes são determinados em relação ao expoente de η, isto é, t:

u = 1 − t
r = 2 − t
1 = 2 − t + s − t − 3 + 3t  Assim, s = 2 − t

Substituindo na relação anterior,

F = K c2 − t D2 − t ηt ρ1 − t

Reagrupando,



As frações em ambos os lados são grandezas adimensionais, confirmando o teorema de Buckingham, ou seja, para as n = 5 grandezas iniciais, há k = 3 básicas (LMT), resultando em n − k = 2 parâmetros adimensionais.

Na relação anterior, o termo entre parênteses no lado direito é o número de Reynolds:



É uma importante grandeza para o estudo de escoamentos em geral.


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