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A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos e de ampla utilização. Não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos. A inclusão da página no grupo Fluidos deste site é apenas uma questão de conveniência, em razão do maior número de exemplos.
Grandezas básicas, unidades, dimensões
| Topo pág | Fim pág |De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A1, A2 e A3:
- Adição e subtração
- Se
A1 + A2 = A3, entãoA1 = A3 − A2 - Comparação
- Se
A1 + A2 = A3e A2 é finito e positivo, entãoA3 > A1 - Multiplicação e divisão
- Se, por exemplo,
A2 = A1 + A1 + A1, entãoA2 = 3A1ouA1 = A2/3
O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado. Exemplo: na Figura 01, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que
A = N u #A.1#Ou pode-se uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que
A = N' u' #A.2#
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| Figura 01 |
u' = n u #A.3#Então,
N' = n−1 N #A.4#
Isso significa que, se a unidade for multiplicada por um fator n, o valor numérico da grandeza observada deverá ser multiplicado por n−1.
Há então duas coisas distintas no caso:
• a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os pontos são fixos).
• o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.
As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.
Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:
G = α Aa Bb Cc... #B.1#Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas básicas.
| Grandeza física | Símbolo da dimensão | Unidade SI |
Símbolo da unidade SI |
| Comprimento | L | metro | m |
| Massa | M | quilograma | kg |
| Tempo | T | segundo | s |
| Corrente elétrica | I | ampère | A |
| Temperatura termodinâmica | θ | kelvin | K |
| Quantidade de matéria | N | mol | mol |
| Intensidade luminosa | J | candela | cd |
O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.
A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula anterior fica
[G] = [A]a [B]b [C]c... #C.1#Naturalmente, a dimensão de uma grandeza básica é a própria. A Tabela 01 dá as grandezas básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as respectivas unidades básicas.
Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a #A.4#, pode-se facilmente deduzir:
Se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:
N' = n−1 N onde n = (nA)a (nB)b (nC)c... #D.1#Exemplos:
• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por
[A] = L• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto,
[c] = L/T = L T−1• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e
[a] = L T−1/T = L T−2• Se F é força, F = massa × aceleração e
[F] = L M T−2• Se S é área, S = comprimento × comprimento e
[S] = L2• Se p é pressão, p = força / área e
[p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.
Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.
Algumas propriedades das grandezas e dimensões:
• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.
• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.
• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.
• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.
• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja
x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jul/2008
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