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Linha carregada com sua impedância característica |
Topo | Fim |
No diagrama da Figura 01 abaixo, uma linha de comprimento m e impedância característica Zcr é terminada com uma carga do mesmo valor. Então, Vb = Ib Zcr.
Se fazemos x = m nas equações #E.1# e #G.1# do tópico Impedância característica, os valores v e i dessas igualdades serão respectivamente Vb e Ib. Portanto,
a e−gm + b egm = Zcr [ (a/Zcr) e−gm − (b/Zcr) egm ]. Simplificando, a e−gm + b egm = a e−gm − b egm.
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| Fig 01 |
v = Va e−gx #A.1#.
i = (Va / Zcr) e−gx #A.2#.
E a impedância da entrada (isto é, a impedância para x = 0) será dada por
Ze = Va / Ia = Va / (Va / Zcr). Simplificando, Ze = Zcr #B.1#.
Portanto, a impedância da entrada de um cabo carregado com sua impedância característica é igual a esta última, independente do comprimento. Esse é um dos motivos para o uso de impedâncias casadas em linhas de transmissão.
Linha em curto-circuito |
Topo | Fim |
Usamos o mesmo esquema do tópico anterior com R = 0. Portanto, Vb = 0.
De #E.1# do tópico Impedância característica, Vb = a e−gx + b egx = 0.
De #G.1# do mesmo tópico, Ib = (a ⁄ Zcr) e−gx − (b ⁄ Zcr) egx.
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| Fig 01 |
a = Ib Zcr egm / 2.
b = −Ib Zcr e−gm / 2.
Substituindo nas equações #E.1# e #G.1# do tópico Impedância característica, chegamos aos resultados:
v = (Ib Zcr / 2) [ e−g(x − m) − eg(x − m) ] #A.1#.
i = (Ib / 2) [ e−g(x − m) + eg(x − m) ] #A.2#.
Comparando com o resultado do tópico anterior (#A.1# e #A.2#), podemos considerar as últimas parcelas das igualdades como um segundo sinal na linha, ou seja, um sinal refletido. Isso reforça a recomendação da correspondência de impedâncias nos acoplamentos de transmissão de sinais.
Propagação |
Topo | Fim |
Do tópico Impedância característica, vemos que a constante g das fórmulas anteriores é o coeficiente de propagação
g = (zL / zC)1/2 #A.1#. Onde zL é a impedância por unidade de comprimento devido à indutância da linha e zC é a impedância por unidade de comprimento devido à capacitância da linha. Multiplicando ambos os lados por zL e separando os expoentes,
g = (zLzL)1/2 / (zLzC)1/2. Simplificando, g = zL / Zcr #A.2#.
Desde que zL é a impedância de uma unidade de comprimento, a impedância indutiva do trecho (Δx) de linha estudado é ZL = Δx zL. Do tópico Impedância, ZL = j ω L. Portanto, zL = ZL / Δx = j ω L / Δx.
Substituindo na igualdade anterior, g = j ω L / (Δx Zcr) #A.3#.
Do tópico Impedância característica, temos a impedância característica Zcr = (zL zC)1/2 #B.1#. Desconsiderando as resistências da linha, Zcr é um número real e a constante g segundo #A.3# pode ser escrita como
g = j β, onde β = ω L / (Δx Zcr) #C.1#. O propósito é a determinação do valor de β.
Do tópico Linha carregada com sua impedância característica foi dada a tensão v ao longo da mesma,
v = Va e−gx, onde Va é a tensão de entrada da linha. Substituindo o valor de g, v = Va e− j β x #D.1#.
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| Fig 01 |
Va = V ej ω t.
Substituindo na equação anterior,
v = V ej ω t e− j β x #D.2#.
Usando a notação trigonométrica para os números complexos, #D.2# pode ser escrita
v = V (cos ωt + j sen ωt) (cos βx − j sen βx).
v/V = cos ωt cos βx − j cos ωt sen βx + j sen ωt cos βx + sen ωt sen βx. Reagrupando,
v/V = cos ωt cos βx − sen ωt sen βx + j (sen ωt cos βx + cos ωt sen βx).
Simplificando com o uso de relações trigonométricas,
v/V = cos (ωt + βx) + j sen (ωt + βx). Ou v = V [cos (ωt + βx) + j sen (ωt + βx) ] #D.3#.
A igualdade acima é a representação complexa de um sinal senoidal que, na forma simplificada, é dada por
v = V sen (ωt + βx) #D.3#. Sendo essa a equação da propagação do sinal ao longo da linha.
Conforme Figura 01, após um tempo igual ao período T do sinal, deve haver um deslocamento igual ao comprimento de onda λ do mesmo. Portanto, devemos ter
β = 2 π / λ #E.1#.
Voltando ao tópico Linha em curto-cirduito, temos a tensão
v = Ib Zcr [ e−g(x − m) − eg(x − m) ] / 2.
E a corrente i = Ib [ e−g(x − m) + eg(x − m) ] / 2. Substituindo o valor de g e calculando para a entrada (x = 0),
Tensão Va = Ib Zcr [ ej β m − e− j β m] / 2. Corrente Ib = Ib [ ej β m + e− j β m ] / 2.
Calculando a impedância de entrada, Z = Va / Ia = (Zcr / 2) ( ej β m − e− j β m ) / (ej β m + e− j β m).
Z = (Zcr / 2) (cos βm + j sen βm − cos βm + j sen βm) / (cos βm + j sen βm + cos βm − j sen βm).
Z = j Zcr tan (2 π m / λ) #F.1#.
Isso significa que, se o comprimento da linha for m = λ / 4, isto é, um quarto do comprimento de onda do sinal, a impedância na entrada será infinita, atuando como um circuito ressonante paralelo. É uma interessante aplicação para a linha em curto-circuito.
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