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Linhas de transmissão de sinais I-00 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Impedância | Linha ideal e linha real | Modelo de uma linha de transmissão | Impedância característica |

Na Eletrônica, linhas de transmissão são cabos condutores de sinais. No dia-a-dia elas são vistas em antenas, cabos de telefonia, redes de computadores, etc.

Um dado bastante empregado para especificar um cabo de transmissão de sinais é a sua impedância. Por exemplo: cabo coaxial de 75 ohms, cabo paralelo de 300 ohms, etc. Mas o que é impedância de um cabo de transmissão? O termo adequado é impedância característica, ou seja, uma propriedade do mesmo.

Nesta página, são apresentados o desenvolvimento matemático que define a propriedade e algumas informações relacionadas. O conhecimento de alguns conceitos matemáticos é necessário para o acompanhamento do assunto. As páginas do grupo Matemática deste site podem ser consultadas se for o caso.

Impedância

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Impedância de um circuito de corrente alternada pode ser entendida como a grandeza equivalente à resistência de um circuito de corrente contínua. A unidade física é a mesma da resistência (ohm). Entretanto, a impedância precisa ser representada por um número complexo. Mais conceitos podem ser vistos nas páginas sobre Eletricidade e eletromagnetismo deste site.

Considerando uma corrente senoidal de freqüência f, temos

Impedância através de um indutor de indutância L	ZL = j ω L	#A.1#
Impedância através de um capacitor de capacitância C	ZC = −j / (ω C)	#A.2#
Impedância através de um resistor de resistência R	ZR = R	#A.3#

Onde j é a unidade imaginária (√−1), ω é a velocidade angular ( = 2 π f).

Na forma complexa, associações de impedâncias se comportam como associações de resistores. Exemplo: para associações dos elementos da tabela anterior, temos

Série: Z = ZL + ZC + ZR #B.1#

Paralelo: (1/Z) = (1/ZL) + (1/ZC)+ (1/ZR) #B.2#

Linha ideal e linha real

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Se existisse, uma linha de transmissão ideal não ofereceria nenhum obstáculo à passagem do sinal. Mas, numa linha real, as coisas são diferentes. Condutores elétricos não têm resistência nula. Um fio, mesmo retilíneo, apresenta uma pequena indutância. Entre dois fios separados por um isolante, sempre há uma pequena capacitância e uma elevada resistência elétrica.

Em circuitos de corrente contínua ou de baixa freqüência, basta em muitos casos considerar apenas as resistências ao longo dos condutores. Em freqüências mais altas, o efeito dessas pequenas indutâncias e capacitâncias é considerável e não pode ser desprezado.

Modelo de uma linha de transmissão

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Na Figura 01 deste tópico, temos o esquema do modelo teórico de um pequeno comprimento de linha Δx: entre os dois condutores há um conjunto RC paralelo. Ao longo de um condutor, há um conjunto RL em série, subdividido em dois para manter a simetria, conforme sugere a situação real.

Fig 01

Supomos que cada unidade de comprimento da linha tem uma impedância em série z_L e uma impedância paralela z_C. Nelas estão inclusas as resistências e os símbolos foram assim escritos porque o efeito das indutâncias e capacitâncias são predominantes e, em muitos casos, as resistências podem ser desprezadas.

Notar que, quanto menor o comprimento, menor z_L e maior z_C.

Portanto, para um comprimento pequeno Δx, temos:

• Impedância em paralelo Z_C = z_C / Δx #A.1#.

• Impedância em série Z_L = Δx z_L #A.1#.

Nas extremidades temos as tensões (v) e (v + Δv) e as correntes (i) e (i + Δi).

Impedância característica

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Aplicando a lei de Kirchhoff, ∑V = 0, para o laço formado por ambas as extremidades do modelo do tópico anterior e simplificando a igualdade

v − i Δx z_L/2 − (i+Δi) Δx z_L/2 − v − Δv = 0 ou Δv / Δx = −z_L i − Δi z_L/2.

Na situação limite, Δx→ 0, a parcela Δi z_L/2 se anula e temos a derivada dv ⁄ dx = − z_L i #A.1#.

Desenvolvendo de maneira análoga para o laço formado pela extremidade esquerda e o conjunto RC central,

v − i Δx z_L/2 − [i − (i+Δi)] z_C/Δx = 0 ou v − i z_L Δx − Δi z_C / Δx = 0.

Na situação limite, Δx→ 0, a parcela i z_L Δx se anula e temos a derivada di ⁄ dx = − v ⁄ z_C #B.1#.

A segunda derivada de #A.1# é d²v / dx² = − z_L di / dx.

Substituindo di/dx pelo valor em #B.1#, d²v ⁄ dx² = (z_L ⁄ z_C) v #C.1#.

No processo análogo, de #B.1# para #A.1#, d²i ⁄ dx² = (z_L ⁄ z_C) v #D.1#.

As igualdades #C.1# e #D.1# são denominadas equações da linha de transmissão. E a solução das equações diferenciais dá os valores de tensão e corrente em qualquer posição da linha de transmissão. Aqui não são desenvolvidas as soluções. Somente os resultados são informados.

A solução de #C.1# é v = a e^−gx + b e^gx #E.1#.

A constante g é denominada coeficiente de propagação e é dada por g = (z_L ⁄ z_C)^1/2 #F.1#.

A solução de #D.1# é i = (a ⁄ Z_cr) e^−gx − (b ⁄ Z_cr) e^gx #G.1#.

A constante Z_cr é a impedância característica e é dada por Z_cr = (z_L z_C)^1/2 #H.1#.

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