Modelo T - Exemplo de cálculo

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No circuito da Figura 01, são dados os seguintes valores:

Fig 01

v_s = (10 cos 1000 t) V.
L₁ = 2 mH.
L₂ = 20 mH.
M = 4 mH.
R = 6 Ω.
C = 50 µF.

Determinar as correntes em cada lado do transformador bem como a tensão V_L da série R e C.

Fig 02

Em termos complexos, a tensão da fonte é

V_s = 10 /_ 0° V com ω = 1000 rad/s. Assim,
X_L1 = j 1000 2 0,001 = j2 Ω.
X_L2 = j 1000 20 0,001 = j20 Ω.
X_M = j 1000 4 0,001 = j4 Ω.
X_C = − j / (1000 50 0,000001) = −j20 Ω.

A Figura 02 mostra o modelo T segundo página anterior com valores numéricos a partir dos dados acima.

−j2+j4 −j4 −j4 j4+j16+6−j20  ×  Im1 Im2  =  10 0

#A.1#

Na mesma figura, I_m1 e I_m2 são as correntes das malhas para análise conforme sistema de equações #A.1#.

O resultado desse sistema é I_m1 ≈ 3/_−36,9° A e I_m2 ≈ 2/_53,1° A.

Portanto, I_s = I_m1 ≈ 3/_−36,9° A. Corrente da carga I_L = I_m2 ≈ 2/_53,1° A. Tensão da carga
V_L = (6 − j20) I_L ≈ 41,8/_−20,2° V.

Relação para número de espiras

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A Figura 01 representa um transformador supostamente ideal, isto é, a resistência elétrica dos condutores é desprezível e o material do núcleo é magnético ideal, de forma que a indução magnética B é uniforme e o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos.

Fig 01

Considerando um enrolamento genérico, segundo a lei de Faraday,

v = N dΦ / dt #A.1#.

Presumindo uma tensão alternada senoidal,

v = √2 v_ef cos ωt #A.2#, onde v_ef é o valor eficaz.

De #A.1#, o fluxo magnético pode ser obtido por integração,

Φ = (1 / N) ∫ v dt.

Substituindo o valor de v e resolvendo a integral, Φ = [ √2 v_ef / (ω N) ] sen ωt. Em geral, os parâmetros são estabelecidos para o valor máximo de Φ, que ocorre com sen ωt = 1. Assim,

Φ = √2 v_ef / (ω N) #B.1#. Onde

Φ: fluxo magnético (weber Wb).
v_ef: valor eficaz da tensão no enrolamento (volts V).
ω: velocidade angular (rad/s).
N: número de espiras.

Das relações do eletromagnetismo, Φ = B S #C.1#. Onde:

B: indução magnética (tesla T).
S: área da seção (m²).

Do movimento periódico, ω = 2 π f #D.1#. Onde:

f: freqüência (hertz Hz).

Introduzindo #C.1# e #D.1# em #B.1#, chega-se ao resultado

v_ef = (2 π / √2) B N S f ≈ 4,44 B N S f #E.1#.

Exemplo: um enrolamento de um transformador deve trabalhar com 10 V e 50 kHz. O núcleo é ferrite, tem área de 0,148 cm² e deve operar com uma indução magnética máxima de 0,2 T. Determinar o número de espiras para esse enrolamento.

Da fórmula #E.1#, N = 10 / ( 4,44 0,2 0,0000148 50000 ) ≈ 15,2 espiras.