Indutância mútua - Modelos T e π

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O circuito da Figura 01 é o básico com indicação da indutância mútua, conforme visto em página anterior.

Fig 01

Primário e secundário estão interligados em um lado comum. Assim, a contribuição da indutância mútua pode ser positiva ou negativa, dependendo dos sentidos dos enrolamentos.

Fig 02

O modelo T segundo Figura 02 pode ser confirmado pela aplicação da lei das tensões em ambos os lados.

V₁ = jω (L₁ M) I₁ ± jωM (I₁ + I₂).

V₁ = jωL₁ I₁ jωM I₁ ± jωM I₁ ± jωM I₂.

V₁ = jωL₁ I₁ ± jωM I₂ #A.1#.

V₂ = jω (L₂ M) I₂ ± jωM (I₁ + I₂) = jωL₂ I₂ jωM I₂ ± jωM I₁ ± jωM I₂.

V₂ = ± jωM I₁ + jωL₂ I₂ #A.2#.

Os resultados #A.1# e #A.2# são iguais às fórmulas vistas nas páginas anteriores. Há opção de sinal (±) na parte de M para indicar caso genérico, de disposição aditiva ou em oposição dos enrolamentos.

Fig 03

As relações para o modelo π da Figura 03 podem ser deduzidas com um artifício: o circuito é a conversão Y-Delta do anterior.

Desde que associações de indutores são similares às de resistores, podem ser empregadas as fórmulas para circuitos CC.

Na página Circuitos elétricos I-60 pode ser visto que R_XY = A / R_z, onde A = R_xR_y + R_yR_z + R_zR_x. Adaptando para as indutâncias da Figura 02,

A = (L₁ M) (±M) + (±M) (L₂ M) + (L₂ M) (L₁ M) = L₁ L₂ − M². Portanto,

L11 = A / (L2 M)

L12 = A / (±M)

L22 = A / (L1 M)

Onde A = L1 L2 − M2

#B.1#

Autotransformador

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No autotransformador, um dos enrolamentos é comum ao primário e ao secundário. A Figura 01 mostra a ligação para um autotransformador elevador de tensão.

Fig 01

Devido à bobina comum, a potência transmitida é maior que a potência da configuração separada, para as mesmas dimensões físicas. Entretanto, apresenta a desvantagem da ausência de isolação elétrica entre primário e secundário, característica desejável ou indispensável em várias aplicações.

Desde que a indutância mútua é mantida, a análise é basicamente a mesma anterior, com as adaptações para o novo circuito.

O circuito da Figura 02 é o equivalente T para o autotransformador elevador de tensão da Figura 01. As igualdades a seguir são obtidas através da lei das tensões de Kirchhoff nos laços do primário e do secundário.

Fig 02

V_s = jωL₁ I_s − jω (L₁ + M) I_L #A.1#.

0 = − jω (L₁ + M) I_s + [ jω (L₁ + 2M + L₂) + Z_L ] I_L #A.2#.

De #A.2#,

I_L / I_s = jω (L₁ + M) / [ jω (L₁ + 2M + L₂) + Z_L ] #B.1#.

A relação de tensões é dada por V_L / V_s = Z_L I_L / V_s. Das relações anteriores após simplificação,

V_L / V_s = jω (L₁ + M) / [ jω L₁ Z_L − ω² (L₁ L₂ − M²) ] #B.2#.

A relação entre indutâncias, conforme dado em página anterior, é L₂ / L₁ = (N₂ / N₁)² = n² #C.1#.

Considerando a hipótese jω (L₁ + 2M + L₂) >> Z_L #C.2#, a igualdade #B.1# fica

I_L / I_s = (L₁ + M) / (L₁ + 2M + L₂) #D.1#.

Supondo transformador ideal, M = √(L₁ L₂) #D.2#. Substituindo na anterior e dividindo os termos por L₁,

I_L / I_s = [1 + √(L₂ / L₁)] / [1 + 2 √(L₂ / L₁) + (L₂ / L₁)]. Considerando #C.1#,

I_L / I_s = (1 + n) / (1 + n)² = 1 / (1 + N₂ / N₁) = N₁ / (N₁ + N₂) #D.3#.

A relação de transformação do transformador clássico é dada pela relação entre espiras n = N₂ / N₁. No caso do autotransformador, o enrolamento comum é adicionado:

a = (N₁ + N₂) / N₁ #E.1#.

E a relação anterior entre correntes fica I_L / I_s = 1 / a #E.2#.

De #B.2# e com o uso das igualdades e hipóteses anteriores, V_L / V_s = a #E.3#.