Indutância mútua: modelos e análise de tensões e correntes

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As igualdades #C.1# e #C.2# da página anterior permitem construir um modelo para a indutância mútua com domínio de tempo. Ver Figura 01 abaixo. Essas mesmas igualdades podem ser representadas na forma de matrizes conforme #A.1#.

	L1 M M L2  ×  di1/dt di2/dt  =  v1 v2
Fig 01	#A.1#

Para tensões e correntes complexas (domínio de freqüência. #C.3# e #C.4# da página anterior), modelo e matrizes são vistos na Figura 02 e em #B.1# abaixo.

	jωL1 jωM jωM jωL2  ×  I1 I2  =  V1 V2
Fig 02	#B.1#

Análise de tensões e correntes

Fig 03

Seja, conforme Figura 03, um circuito típico com transformador: no primátio é aplicada uma tensão V_s e, no secundário, uma carga de impedância Z_L. A Figura 04 dá o modelo com tensões e correntes complexas, de acordo com o circuito da Figura 03 anterior.

A equivalência de correntes é I₁ = I_s e I₂ = −I_L.

Laço do primário: jωL₁ I_s − jωM I_L = V_s #C.1#. Laço do secundário: (jωL₂ + Z_L) I_L = jωM I_s #C.2#.

Fig 04

De #C.2#, I_L / I_s = jωM / (jωL₂ + Z_L) #C.3#.

A impedância da fonte é Z_s = V_s / I_s. Usando o valor de #C.1# nessa relação,

Z_s = jωL₁ −jωM I_L / I_s. Substituindo I_L / I_s de #C.3# e simplificando,

Z_s = [ −ω² L₁ L₂ + jωL₁ Z_L + ω² M² ] / (jωL₂ + Z_L) #C.4#.

Conforme relação vista na página anterior, M = k √(L₁ L₂). Considerando um transformador ideal, k = 1 e, portanto, M = √(L₁ L₂) #C.5#.

Com essa relação, a igualdade #C.4# fica reduzida a Z_s = jωL₁ Z_L / (jωL₂ + Z_L) #C.6#. Dividindo numerador e denominador por jωL₂,

Z_s = Z_L (L₁/L₂) / [ 1 + Z_L/(jωL₂) ] #C.7#.

A relação de transformação é n = N₂ / N₁ #C.8# e, para o transformador ideal, também vale L₂ / L₁ = n² #C.9#.

Voltando à igualdade #C.7#, se (jωL₂) >> Z_L e usando #C.8#, Z_s = Z_L / n² #C.10#.

A relação de tensões é V_L / V_s = Z_L I_L / (Z_s I_s) = (Z_L / Z_s) (I_L / I_s). Considerando #C.3# e #C.6# e simplificando,

V_L / V_s = M / L₁. Considerando #C.5# e #C.9#, V_L / V_s = n #C.11#.

Dividindo, na igualdade #C.3#, numerador e denominador por jωL₂, obtém-se

I_L / I_s = (M / L₂) [ 1 / (1 + Z_L / jωL₂) ]. Empregando a mesma premissa anterior (jωL₂) >> Z_L, chega-se a

I_L / I_s = (M / L₂) e, considerando #C.5# e #C.9#, I_L / I_s = 1 / n #C.12#.

As igualdades #C.10#, #C.11# e #C.12# são as relações básicas já vistas para o transformador ideal, que foram aqui obtidas a partir do conceito de indutância mútua.