Indutância mútua

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O conjunto das bobinas de N₁ e N₂ espiras da Figura 01 forma um transformador cujo núcleo não é representado. De forma genérica, é possível supor que os fluxos magnéticos que atravessam as bobinas não são necessariamente idênticos.

Para a bobina 1, pode ser considerado Φ₁ = Φ₁₁ + Φ₁₂ #A.1#. Onde:

Φ₁: fluxo total na bobina 1.
Φ₁₁: fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 1.
Φ₁₂: fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 2.

De acordo com a lei de Faraday, v₁(t) = N₁ dΦ₁/dt = N₁ dΦ₁₁/dt + N₁ dΦ₁₂/dt #A.2#.

Segundo relações do eletromagnetismo, Φ₁₁ = N₁ i₁ / R_m11 e Φ₁₂ = N₂ i₂ / R_m12 #A.3#. Onde R_m11 e R_m12 são as relutâncias magnéticas dos caminhos percorridos pelos fluxos. Substituindo os valores em #A.2#,

v₁(t) = (N₁²/R_m11) di₁/dt + (N₁ N₂/R_m12) di₂/dt #A.4#.

Desenvolvimento similar pode ser feito para o outro lado, chegando-se a

v₂(t) = (N₂²/R_m22) di₂/dt + (N₁ N₂/R_m21) di₁/dt #A.5#.

Fig 01

Os termos (N₁²/R_m11) e (N₂²/R_m22) são as indutâncias de cada (L₁, L₂) e, neste caso, são denominadas auto-indutâncias #A.6#.

As expressões (N₁ N₂/R_m12) e (N₁ N₂/R_m21) também têm dimensão de indutância.

Supondo o meio linear,

R_m12 = R_m21 #B.1#.

Define-se então a indutância mútua M = (N₁ N₂/R_m12) = (N₁ N₂/R_m21) #B.2#.

E as igualdades #A.4# e #A.5# são escritas:

v1(t) = L1 di1/dt + M di2/dt #C.1#

v2(t) = M di1/dt + L2 di2/dt #C.2#

Na representação com tensões e correntes complexas, são usadas as reatâncias indutivas:

V1 = (j ω L1) I1 + (j ω M) I2 #C.3#

V2 = (j ω M) I1 + (j ω L2) I2 #C.4#

Determinação da indutância mútua

Das relações #B.2# e #A.3#, deduz-se M = N₁ Φ₁₂ / i₂. A relação #A.3# para o outro lado foi omitida, mas é possível obter resultado similar M = N₂ Φ₂₁ / i₁. Em geral, Φ₁₂ = Φ₂₁ = Φ_m. Portanto.

M = N₁ Φ_m / i₂ = N₂ Φ_m / i₁ #D.1#.

De #A.6# e #A.3# (com analogia para o outro lado) é possível deduzir

L₁ = N₁ Φ₁₁ / i₁ e L₂ = N₂ Φ₂₂ / i₂ #D.2#.

Supondo uma proporcionalidade Φ_m = k₁ Φ₁₁ = k₂ Φ₂₂ #D.3# e combinando com as igualdades anteriores

M² = k₁ k₂ L₁ L₂. Unificando as constantes de proporcionalidade, obtém-se a indutância mútua em função das indutâncias dos enrolamentos:

M = k √(L₁ L₂) #E.1#.

Onde k é o coeficiente do acoplamento indutivo, que pode variar de 0 a 1. Transformadores com núcleo de ferro podem ter valores tão altos quanto 0,998. Números na faixa de 0,50 são típicos para transformadores sem núcleo (núcleo de ar).

Na prática, o valor de M (e, por conseqüência, o de k) pode ser obtido pela medição da indutância do primário e secundário em série, que deve ser L = L₁ + L₂ ± M. O sinal positivo ou negativo depende da ligação das bobinas em relação ao ponto (•) de referência (adição ou oposição de tensões).

Fig 02

Exemplo numérico: determinar a tensão de saída V_x do circuito da Figura 02.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no lado primário,

2 I₁ + V₁ = 10. Substituindo V₁ pelo valor dado em #C.3#,

(2 + j 2) I₁ + j 2 I₂ = 10.

Para o lado do secundário, (1 + 1) I₂ = − V₂. Substituindo V₂ pelo valor de #C.4# e simplificando,

j 2 I₁ + (2 + j 2) I₂ = 0. Essa igualdade e a anterior formam um sistema de equações lineares cuja solução é

I₁ ≈ 3,17 /_−18,4° A e I₂ ≈ 2,24 /_−153,4° A. Portanto, V_x = 1 I₂ ≈ 2,24 /_−153,4° V.