Transformador ideal - Relações básicas

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Um transformador ideal pode ser representado pelo arranjo da Figura 01: duas bobinas, com N₁ e N₂ espiras de fio condutor de resistência elétrica desprezível, enroladas em um núcleo fechado de material magnético ideal, de forma que o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos.

Segundo a lei da Faraday, as tensões são dadas por

v₁(t) = N₁ dΦ/dt e v₂(t) = N₂ dΦ/dt. Combinando e simplificando,

v₁ / v₂ = N₁ / N₂ #A.1#.

Fig 01

Portanto, as tensões em cada enrolamento são proporcionais aos seus números de espiras.

Aplicando-se a lei de Ampère,

∫ H · dℓ = i_total = N₁ i₁ + N₂ i₂.

Para um núcleo magnético ideal, μ → ∞ e H → 0.

N₁ i₁ + N₂ i₂ = 0 #B.1#.

i₁ / i₂ = − N₂ / N₁ #B.2#.

Portanto, as correntes em cada bobina são inversamente proporcionais aos seus números de espiras.

A igualdade #B.1# multiplicada por v₁ resulta em N₁ v₁ i₁ + N₂ v₁ i₂ = 0. Combinando com #A.1# e simplificando,

v₁ i₁ + v₂ i₂ = 0 ou P₁ + P₂ = 0 #C.1#, onde P é potência.

A relação acima indica que a potência líquida é nula, ou seja, não há perda de potência no transformador ideal.

As marcas de ponto (•) nos terminais dos enrolamentos indicam correspondência de sentidos, ou seja, correntes que entram nos pontos produzem fluxos magnéticos no mesmo sentido. Assim, um acréscimo de corrente que entra no ponto de uma bobina produz uma tensão positiva no ponto da outra.

Consideram-se agora tensões e correntes complexas, simbolizadas por V e I (maiúsculos).

Fig 02

A igualdade #A.1# é escrita como

V₁ / V₂ = N₁ / N₂ #D.1#.

A igualdade #B.2# é escrita

I₁ / I₂ = N₂ / N₁ #E.1#.

(significa uma corrente saindo do ponto).

A Figura 02 apresenta o esquema elétrico com símbolo usual de transformador (supostamente ideal neste caso). São considerados parâmetros complexos e uma carga de impedância Z.

A potência complexa é dada por

S₁ = V₁ I₁^* = (N₁ V₂ / N₂) (N₂ I₂ / N₁)^* = V₂ I₂^* = S₂ #F.1#.

Conclui-se então que, no transformador ideal, a potência complexa é mantida.

A impedância de entrada é determinada por

Z₁ = V₁ / I₁ = (N₁ V₂ / N₂) / (N₂ I₂ / N₁) = (N₁ / N₂)² (V₂ / I₂). Portanto,

Z₁ = (N₁ / N₂)² Z₂ #G.1#.

Isso significa que o transformador pode ser usado como um meio de acoplamento de impedâncias entre circuitos. A impedância da carga no secundário é refletida para o primário na razão do inverso do quadrado da relação entre espiras secundário / primário.

A relação de transformação n é dada por n = N₂ / N₁ #H.1#.

E as principais igualdades anteriores podem ser escritas com uso desse parâmetro:

V2 = n V1

I2 = (1/n) I1

S2 = S1

Z1 = (1/n2) ZL

#I.1#

Exemplo numérico: no circuito da Figura 03, são conhecidos N₁ = 1000 | N₂ = 100 | V_s = 2500 /_0° V | Z_s = (0,25 + j 2) Ω | Z_L = (0,2375 + j 0,05) Ω. Determinar as tensões e correntes em cada lado do transformador, que é considerado ideal.

Fig 03

Usando a lei das tensões de Kirchhoff no lado da fonte,

− V_s + Z_s I₁ + V₁ = 0.

(0,25 + j 2) I₁ + V₁ = 2500 /_0°.

Aplicando a mesma lei no lado da carga,

− V₂ + Z_L I₂ = 0. Portanto, (0,2375 + j 0,05) I₂ = V₂.

A relação de transformação é n = N₂/N₁ = 100/1000 = 0,1. Das igualdades de #I.1#,

V₁ = 10 V₂ e I₂ = 10 I₁. Combinando com a anterior,

V₁ = 10 [ (0,2375 + j 0,05) 10 I₁ ] = (23,75 + j 5) I₁. Inserindo V₁ na outra relação anterior,

(0,25 + j 2) I₁ + (23,75 + j 5) I₁ = 2500 /_0° ou (24 + j 7) I₁ = 2500 /_0°. Calculando,

I₁ = 100 /_−16,26° A. E a tensão do primário é

V₁ = V_s − Z_s I₁ = 2500 /_0° − (0,25 + j 2) (100 /_−16,26°) = 2427,06 /_−4,37° V.

Tensão e corrente do secundário: V₂ = 0,1 V₁ = 242,7 /_−4,37° V e I₂ = 10 I₁ = 1000 /_−16,26° A.