Exemplos

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Para um prisma comum, conforme visto na página anterior, ocorre a relação:

sen [ (α + β) / 2 ] = n₂₁ sen (β/2) #A.1#.

Fig 01

Onde α é o desvio angular entre os raios emergente e incidente e β o ângulo do vértice superior. Isso é válido se ambos os raios formam o mesmo ângulo com as superfícies, isto é, se há uma simetria no arranjo (de outra forma, pode-se dizer que o caminho interno é paralelo à base do prisma).

Se o raio incidente é uma mistura de vários comprimentos de onda (a luz branca do sol por exemplo), pode-se verificar que os raios de cada comprimento de onda terão caminhos diferentes porque o coeficiente n₂₁ varia com os mesmos.

A demonstração matemática é simples e aqui não é dada. E a visualização do espectro de uma fonte de luz é uma das aplicações clássicas do prisma conforme Figura 01.

Seja agora o caso de um raio que atravessa um meio de faces planas e paralelas entre si conforme Figura 02 (exemplo: uma placa de vidro no ar).

Fig 02

Conforme visto em página anterior, para o ponto B,

sen θ₁ / sen θ₂ = n₂₁ = n₂ / n₁.

No ponto C, a refração é do meio 2 para o meio 1:

sen θ₁' / sen θ₂' = n₁₂ = n₁ / n₂.

Pela geometria do caso, θ₂ = θ₁'.

Substituindo nas igualdades anteriores, chega-se a

sen θ₁ = sen θ₂' ou θ₁ = θ₂'. Portanto, os raios incidente e emergente são paralelos.

Por trigonometria simples, cos θ₂ = a / BC e sen (θ₁ − θ₂) = d / BC. Portanto, a distância entre os raios é dada por:

d = a sen (θ₁ − θ₂) / cos θ₂ #B.1#.

Também pode ser facilmente deduzido que os raios continuam paralelos no caso de várias camadas de materiais com diferentes índices de refração.

Reflexão total

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Na situação da Figura 01, uma fonte de luz O no interior de uma placa de vidro. Os raios são refratados para o meio externo, que se considera o ar.

Fig 01

Para uma direção genérica,

sen θ₁ / sen θ₂ = n₂₁ = n_{ar_vidro} = n_ar / n_vidro.

Ou sen θ₁ = sen θ₂ (n_ar / n_vidro).

Desde que n_ar < n_vidro, o ângulo θ₂ é sempre maior (ou igual) a θ₁.

Assim, se θ₁ é aumentado gradativamente conforme representado na figura, chega-se a um limite θ₂ = 90º, a partir do qual não há mais refração, isto é, ocorre apenas reflexão ou reflexão total.

Esse valor-limite (θ_2d na figura) é dado pela igualdade anterior com θ₂ = 90º: sen θ_1d = sen 90 (n_ar / n_vidro) ou:

sen θ_1d = (n_ar / n_vidro) #A.1#.

Considerando índice do ar igual a 1 e do vidro igual a 1,5, tem-se sen θ_1d = 0,677 ou θ_1d ≈ 42º.

Notar que o fenômeno não ocorre no caso de passagem para um meio com maior índice absoluto de refração.

Reflexão e refração de ondas esféricas

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Uma fonte puntiforme que emite luz uniformemente em todas as direções produz frentes de ondas esféricas ou circulares, se considerada a propagação em um determinado plano.

Fig 01

Na Figura 01, uma fonte O emite ondas esféricas que são refletidas por uma superfície plana.

Considera-se apenas a reflexão de dois raios, OB e OD, que pode ser estendida para todos os demais.

Conforme já visto, os ângulos de incidência e de reflexão são sempre iguais. Assim, todos os raios refletidos se encontram em um ponto comum I, simétrico, em relação à superfície, ao ponto de origem O. Isso significa claramente que a onda refletida é também esférica.


O ponto I é denominado imagem de O devido à reflexão.

Fig 02

Mas não se pode dizer o mesmo no caso da refração. Seja o exemplo da Figura 02.

Desde que os ângulos dos raios incidente e refratado não são necessariamente iguais, só há pontos comuns para raios em posições simétricas em relação ao eixo vertical.

No conjunto, os pontos estão dispersos ao longo da reta OG. Portanto, os raios refratados de uma onda esférica em uma superfície plana não formam ondas esféricas.