Princípio de Fermat

Topo | Fim

Enunciado por Pierre Fermat em 1650, afirma basicamente que a luz percorre o caminho do menor tempo. E as leis da reflexão e da refração do tópico anterior podem ser deduzidas a partir do mesmo.

Fig 01

Na reflexão as velocidades são idênticas porque os raios estão no mesmo meio. Assim, o caminho de menor tempo é o de menor comprimento. E, conforme Figura 01, devemos ter AOB mínimo.

Mas AOB = AO + OB =
= (a² + x²)^1/2 + [b² + (d-x)²]^1/2.

Para o mínimo, a derivada deve ser nula:

d(AOB)/dx = (1/2) 2x (a²+x²)^−1/2 + (1/2) 2 (d-x) (−1) [b²+(d−x)²]^−1/2 = 0.

Simplificando, x / (a² + x²)^1/2 = (d − x) / [b² + (d − x)²]^1/2.

Essa igualdade é equivalente a sen θ₁ = sen θ₁' ou θ₁ = θ₁'.

Fig 02

No caso de refração, precisa-se somar os tempos porque as velocidades nos meios são diferentes (Figura 02).

T = (1/v₁) (a² + x²)^1/2 + (1/v₂) [b² + (d−x)²]^1/2.

Derivando em relação a x e igualando a zero para obter o valor mínimo, de forma similar à anterior,

(1/v₁) x / (a² + x²)^1/2 =
= (1/v₂) (d − x) / [b² + (d−x)²]^1/2.

Ou (1/v₁) sen θ₁ = (1/v₂) sen θ₂.

Ou sen θ₁ / sen θ₂ = v₁ / v₂. Essa fórmula corresponde à igualdade já vista para refração:

sen θ₁ / sen θ₂ = n₂₁.

Exemplos

Topo | Fim

A Figura 01 deste tópico dá um arranjo de dois espelhos E₁ e E₂ perpendiculares entre si.

Fig 01

A simples verificação visual dos ângulos permite concluir que um raio de luz refletido por ambos retorna em direção paralela ao raio incidente.

Na Figura 02, observa-se a seção transversal de um prisma de vidro, simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice B.

É suposto que a direção do feixe é ajustada de forma que a direção de saída θ (em relação à reta normal à superfície) seja igual à de entrada.

Fig 02

Notar que ocorre a relação φ = β/2 porque as direções AB e BD são perpendiculares aos lados de φ.

Considerando o triângulo ADC e o ângulo α de desvio total do raio,

180 − α = 180 − (θ − φ) − (θ − φ) ou α = 2 (θ − φ).

Aplicando a lei da refração no ponto A (θ é o ângulo de incidência e φ o de refração):

sen θ = n₂₁ sen φ. Onde n₂₁ é o índice de refração do material do prisma (vidro) em relação ao ar.

Substituindo valores anteriores,

sen [ (α + β) / 2 ] = n₂₁ sen (β/2) #A.1#.

Essa igualdade permite determinar o índice de refração do material do prisma a partir do ângulo β e do desvio α para a situação de simetria.