Princípios de operação

Topo | Fim

O motor linear de corrente contínua é, possivelmente, um dispositivo de pouca utilidade prática, mas os fundamentos da operação são simples e facilmente compreensíveis, servindo como um bom ponto de partida para o estudo dos motores reais. Evidentemente, esse estudo demanda algumas noções básicas de eletromagnetismo, que podem ser vistas nesta série de páginas deste site.

Notação vetorial:

Desde que várias fórmulas do eletromagnetismo fazem uso de produtos vetoriais, há normalmente necessidade da consideração das três dimensões (x, y e z). Por simplicidade, aqui são usados desenhos bidimensionais, com o plano da tela correspondendo ao plano xy. Assim, o eixo z é perpendicular à tela e os sentidos dos vetores nesse eixo são indicados com a notação de praxe:

Vetor que entra (do leitor para a tela)

Vetor que sai (da tela para o leitor)

É adotada a convenção de vetores unitários em cada eixo (u_x, u_y e u_z). Assim, um vetor (caractere em negrito) em qualquer eixo fica perfeitamente definido pelo seu módulo (valor positivo, caractere normal), pelo sinal e pelo vetor unitário correspondente. Exemplo: B = − B u_z.

Fig 01

Arranjo básico:

Conforme Figura 01, uma barra de material condutor pode deslizar perpendicularmente entre dois condutores fixos e paralelos, separados de uma distância ℓ e alimentados por uma fonte de tensão V_s. O resistor R representa as resistências que na prática ocorrem nos condutores e na fonte.

Um campo magnético uniforme B é aplicado na direção perpendicular ao plano do circuito. O sentido do campo é indicado segundo a notação vetorial anterior.

A interseção dos vetores unitários u_x, u_y e u_z define a origem do sistema de coordenadas.

Uma vez fechada a chave SW, uma corrente i(t) circula pelo conjunto e a força decorrente da interação com o campo magnético produz o movimento da barra deslizante. De acordo com relações do eletromagnetismo, essa força é dada pelo produto vetorial

F = i(t) ℓ × B #A.1#. Onde ℓ é um vetor de comprimento igual ao da barra e no mesmo sentido da corrente elétrica. Portanto,

ℓ = − ℓ u_y. Considerando que B = − B u_z conforme indicado, a substituição resulta em F = i(t) (− ℓ u_y) × (− B u_z). Ou

F = i(t) ℓ B u_x #A.2#.

Na hipótese de uma situação mecânica ideal, isto é, sem atritos, essa barra terá uma aceleração calculada pela segunda lei de Newton:

a = d²x / dt² u_x = F / m = [i(t) ℓ B / m] u_x #B.1#. Onde m é a massa da barra.

Numa situação mais realista, deve haver uma força de atrito, que se considera proveniente do atrito fluido de um lubrificante entre as superfícies deslizantes. Segundo relações da Mecânica, a força de atrito de uma superfície em um meio fluido é F_a = −k v. Onde v é a velocidade (u_x dx / dt) e k é um coeficiente que depende da geometria e da viscosidade do fluido. Portanto, F + F_a = m a. Substituindo os valores e eliminando a notação vetorial, chega-se à equação mais genérica para o movimento da barra:

i(t) ℓ B − k dx / dt = m d²x / dt² #B.2#.

Fig 02

Força contra-eletromotriz:

As relações anteriores estão incompletas porque falta determinar a corrente i(t) em função de parâmetros conhecidos. Ela não é constante, uma vez que, com o movimento da barra, o circuito forma uma espira de área variável e, segundo a lei de indução de Faraday, deve existir uma força eletromotriz induzida ou força contra-eletromotriz dada por:

V_e = − dΦ_B / dt #C.1#. Onde Φ_B é o fluxo de campo magnético, calculado por:

Φ_B = ∫ B · dS #C.2#. Por sua vez, dS é um vetor de módulo igual à superfície infinitesimal dS e perpendicular a ela.

Desde que B é constante e a espira é plana, a integral anterior é simplesmente o produto escalar Φ_B = B · S onde S = ℓ x u_z. Substituindo esse valor e o de B,

Φ_B = (− B u_z) · (ℓ x u_z) = − B ℓ x #C.3#. Substituindo em #C.1#,

V_e = B ℓ dx / dt = B ℓ v #D.1#, onde v é a velocidade da barra (dx / dt).

Obs: rigorosamente, o cálculo do fluxo deve considerar a parcela gerada pela própria corrente na espira, Φ_B' = L i(t), onde L é a indutância da espira. Entretanto, por ser apenas uma espira, ela é pequena e pode ser desprezada.

Relações finais:

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito, −V_s + R i(t) + V_e = 0. Substituindo V_e e reagrupando,

R i(t) = V_s − B ℓ dx / dt #E.1#.

A igualdade acima indica um comportamento que pode ser estendido para motores práticos: a corrente aumenta com a redução da velocidade. Numa situação extrema, isto é, se a barra for impedida de se movimentar (equivalente ao eixo travado de um motor real), dx / dt = 0 e a corrente será i(t) = V_s / R = constante. Portanto, ela fica limitada apenas pela resistência elétrica do conjunto, podendo provocar superaquecimento e danos no equipamento.

Multiplicando a igualdade anterior por i(t) e rearranjando, V_s i(t) = R i(t)² + B ℓ i(t) dx / dt. Mas B ℓ i(t) = F segundo #A.2# e dx / dt = v (velocidade). Portanto,

V_s i(t) = R i(t)² + F v #F.1#. As parcelas dessa igualdade têm dimensão de potência, com as seguintes correspondências.

Vs i(t): potência elétrica fornecida pela fonte

R i(t)2: potência dissipada pelas resistências do circuito

F v: potência mecânica

Isso significa uma outra analogia com motores reais: a resistência elétrica dos enrolamentos reduz a eficiência, isto é, a taxa de conversão da potência elétrica em potência mecânica.

Combinando as igualdades #B.2# e #E.1# de forma a eliminar i(t), chega-se à equação do movimento do motor linear:

m d²x / dt² + [ (B² ℓ²) / R + k ] dx / dt = (B ℓ / R) V_s #G.1#. Onde:

m: massa da barra deslizante.
x: distância percorrida.
t: tempo.
B: campo magnético.
ℓ: distância entre condutores.
R: resistência elétrica do circuito.
k: coeficiente de atrito fluido para a barra.
V_s: tensão da fonte.