Energia de uma onda eletromagnética

Topo | Fim

A experiência demonstra que energia e momento são transferidos na propagação de ondas e ondas eletromagnéticas não são exceções.

Em páginas anteriores, foram vistas fórmulas para densidade de energia (energia por unidade de volume) de campos elétricos e magnéticos no vácuo:

u_E = (1/2) ε₀ E² #A.1#.
u_B = (1/2) (1/μ₀) B² #A.2#.

Do tópico Ondas eletromagnéticas, tem-se as relações:

E = c B #B.1# (relação entre valores de campos).
c = (1 / μ₀ε₀)^1/2 #B.2# (velocidade de propagação no vácuo).

Combinando #B.1# com #B.2# para o valor de B e substituindo em #A.2#,

u_B = (1/2) ε₀ E² #C.1#.

E a densidade de energia da onda eletromagnética é a soma das duas parcelas

u = u_E + u_B = ε₀ E² #C.2#.

A intensidade da onda I é dada pela energia que passa por unidade de tempo e por unidade de área, isto é, pelo produto da velocidade c pela densidade de energia:

Fig 01

I = c u = c ε₀ E² #D.1#.

No caso de onda senoidal,

E² = E₀² sen² (2 π x/λ − ωt) #E.1#.

Portanto, o valor médio de E² é E₀²/2. Substituindo em #D.1#, obtém-se o valor médio da intensidade para a onda senoidal

I_m = c ε₀ E² / 2 #E.2#.

Sejam, conforme Figura 01, E e B os vetores dos campos elétrico e magnético em um determinado instante de uma onda que se propaga para a direita ao longo do eixo x.

Da relação E = c B e da definição anterior de intensidade, pode-se concluir que o vetor dado por

c² ε₀ E × B #F.1# tem como módulo a intensidade da onda. Esse vetor é denominado vetor de Poynting.

Dipolo elétrico

Topo | Fim

Este assunto é citado em páginas anteriores da série sobre eletricidade. O presente tópico apresenta algumas considerações adicionais, que serão necessárias para o estudo das irradiações de ondas eletromagnéticas.

Um dipolo elétrico é um conjunto de cargas opostas +q e −q separadas de uma distância d. A grandeza momento de dipolo elétrico p é um vetor tal que

p = q d #A.1#.

Onde d é um vetor de módulo igual a d e sentido da carga negativa para a positiva.

Na Figura 01, um dipolo genérico de momento p está localizado sobre o eixo x e simétrico em relação à origem 0.

Segundo relações de eletricidade, o potencial elétrico de um ponto situado a uma distância r de uma carga q é

V = [ 1/(4 π ε₀) ] . (q / r).

Para um ponto M genérico conforme figura, o potencial devido ao dipolo é a diferença dos potenciais relativos às duas cargas:

V = [ 1/(4 π ε₀) ] . [(q / r') − (q / r'')] = [ 1/(4 π ε₀) ] q (r'' − r') / (r' r'').

Considerando que a distância d é pequena em relação a r, as seguintes aproximações podem ser feitas:

r' r'' ≈ r² e r'' − r' ≈ d cos α. E, substituindo, resulta em

V = q d cos α / (4 π ε₀ r²) = p cos α / (4 π ε₀ r²) #B.1#, onde p é o momento do dipolo elétrico.

Fig 01

A relação simplificada entre campo e potencial elétrico é bem conhecida

E = − (V_a − V_o) / X_a.

Onde X_a é a distância entre os pontos de potencial a e o na direção do campo. Essa igualdade é, na realidade, um caso particular de uma mais genérica, que é dada por:

E_x = − ∂V / ∂x #C.1#.

Onde E_x é o componente do vetor campo elétrico na direção x.

Por analogia, pode-se deduzir os componentes radial e tangencial para o caso de coordenadas polares:

E_r = − ∂V / ∂r #D.1#.

E_t = − ∂V / ∂ℓ #D.2#, onde dℓ = r dα.

As igualdades acima podem ser usadas em #B.1# para determinar os componentes do campo elétrico do dipolo. O resultado é:

E_r = − ∂V / ∂r = 2 p cos α / (4 π ε₀ r³) #E.1#.

E_t = − (1/r) ∂V / ∂α = p sen α / (4 π ε₀ r³) #E.2#.

Na Figura 01, esses componentes (radial e tangencial) estão representados (sem correspondência gráfica) para uma linha de força genérica que passa pelo ponto M.