Ondas eletromagnéticas

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A existência de ondas eletromagnéticas foi provada pelas experiências do físico alemão Heinrich Hertz no final do século XIX. O propósito deste tópico não é a descrição dessas experiências, mas a demonstração matemática da possibilidade de existências dessas ondas conforme previsto por Maxwell através da análise das equações do eletromagnetismo, que podem ser vistas na tabela abaixo, repetida da página Eletromagnetismo V-50.

Lei de	Forma integral	Forma diferencial
Gauss p/ campo elétrico	∫S E · u dS = q / e0	div E = ρe / ε0
Gauss p/ magnetismo	∫S B · u dS = 0	div B = 0
Indução de Faraday	∫ℓ E · dℓ = − d[∫S B · u dS ] / dt	rot E = − ∂B / ∂t
Ampère-Maxwell	∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 d[ ∫S E · u dS ] / dt + μ0 ∫S j · u dS	rot B = μ0ε0 ∂E / ∂t + μ0 j

As igualdades dessa tabela podem ser consideradas um sistema de equações diferenciais que, em princípio, pode ter inúmeras soluções. No presente estudo, supõem-se algumas condições para um caso particular e verifica-se depois se é uma solução para o sistema de equações:

a) O espaço considerado é o vácuo e não há cargas nem correntes elétricas. Portanto,

• carga elétrica por unidade de volume nula ρ_e= 0.
• corrente elétrica por unidade de área nula j = 0.

b) Os vetores de campo elétrico e magnético (E e B) são perpendiculares entre si e paralelos aos eixos de coordenadas conforme Figura 01 deste tópico.

• E_x = E_z = 0. Assim, E = E_y.
• B_x = B_y = 0. Assim, B = B_z.

Da primeira (div E = ρ_e/ε₀) e segunda (div B = 0) igualdades da tabela, ocorre ∂E / ∂y = 0 e ∂B / ∂z = 0.

Da terceira equação (rot E = − ∂B / ∂t),

(∂E_z / ∂y − ∂E_y / ∂z) + (∂E_x / ∂z − ∂E_z / ∂x) + (∂E_y / ∂x − ∂E_x / ∂y)= − ∂B / ∂t.

Desde que ∂E / ∂z = 0, tem-se ∂E / ∂x = − ∂B / ∂t #A.1#.


De forma similar para a 4ª equação (lei de Ampère-Maxwell, rot B = μ₀ε₀ ∂E / ∂t + μ₀ j), lembrando que ∂B / ∂y = 0 porque B_y = 0,

∂B / ∂x = − μ₀ε₀ ∂E / ∂t #B.1#.

Derivando a igualdade #A.1# em relação a x e a igualdade #B.1# em relação a t,

∂²E / ∂x² = − ∂B² / ∂x∂t.
∂²B / ∂x∂t = − μ₀ε₀ ∂²E / ∂t².

Desde que o termo ∂B² / ∂x∂t é comum nas duas igualdades, elas podem ser unificadas:

∂²E / ∂t² = (1 / μ₀ε₀) ∂²E / ∂x² #C.1#.

Conforme pode ser visto em Eletromagnetismo IV-10, essa é a equação diferencial de uma onda E(x, t) que se propaga na direção do eixo x com velocidade

c = (1 / μ₀ε₀)^1/2 #C.2#. Portanto, o campo elétrico se propaga ao longo de x com essa velocidade.

Fig 01

Se derivada a igualdade #A.1# em relação a t e #B.1# em relação a x, obtém-se:

∂²B / ∂t² = (1 / μ₀ε₀) ∂²B / ∂x² #D.1#.

Ou seja, o campo magnético também é uma onda que se propaga ao longo de x com a mesma velocidade anterior:

c = (1 / μ₀ε₀)^1/2 #D.2#.

O cálculo de c com os valores conhecidos de μ₀ e ε₀ resulta em cerca de 3 10⁸ m/s, que é a velocidade da luz no vácuo.


Portanto, as condições estabelecidas no início deste tópico representam ondas de campos elétricos e magnéticos ortogonais, ou seja, ondas eletromagnéticas.

Na mesma página citada (Eletromagnetismo IV-10) pode ser visto que a forma usual para as equações #C.1# e #D.1# é:

E = E(x − c t) #E.1#.
B = B(x − c t) #E.2#.

Fig 02

Para o caso comum de ondas senoidais, pode-se usar as fórmulas da página mencionada:

E(x, t) = E₀ sen (2 π x/λ − ωt) #F.1#.

B(x, t) = B₀ sen (2 π x/λ − ωt) #F.2#.

Onde E₀ e B₀ são as amplitudes das senóides, λ o comprimento de onda e ω a freqüência angular (=2 π f). E vale a relação

ω = 2 π c / λ #F.3#.


Na Figura 02, uma representação gráfica dos campos elétricos e magnéticos senoidais.

Os valores de E₀ e B₀ não podem ser quaisquer. Eles devem obedecer à igualdade #A.1# (ou #B.1#). Assim,

∂E / ∂x = [ 2 π E₀ / λ ] cos (2 π x/λ − ωt).

∂B / ∂t = − ω B₀ cos (2 π x/λ − ωt).

Desde que ∂E / ∂x = − ∂B / ∂t, tem-se 2 π E₀ / λ = ω B₀. Ou E₀ = (ω λ / 2 π) B₀. Como ω = 2 π c / λ,

Fig 03

E₀ = c B₀ #G.1#.

O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas se pode demonstrar que os valores instantâneos também obedecem à igualdade anterior, isto é,

E = c B #H.1#.

A forma geométrica do caminho de oscilação do campo elétrico E define a polarização da onda eletromagnética.


Nos exemplos deste tópico (Figuras 01 e 02) a polarização é plana e vertical. Outras podem existir. Na polarização circular da Figura 03, os vetores de campos giram à medida que avançam. Naturalmente, para essa polarização e outras, as formulações de E e B são diferentes das apresentadas.

Este tópico apresentou apenas a formulação teórica de uma onda eletromagnética. Aspectos outros, como geração, propriedades, considerações práticas etc, poderão ser inseridos em futuras atualizações.