Lei de Ampère-Maxwell

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Na página Eletromagnetismo III-10 foi dada uma forma particular para a relação entre o campo magnético e um campo elétrico variável como o tempo:

∫_ℓ B. dℓ = μ₀ε₀ dΦ_E / dt + μ₀ i.

Consideram-se as definições:

• Φ_E = ∫_S E · u dS.

• i = ∫_S j · u dS.

Substituindo na anterior,

∫_ℓ B. dℓ = μ₀ε₀ d[ ∫_S E · u dS ] / dt + μ₀ ∫_S j · u dS #A.1#.

Conforme já mencionado, o produto u dS, onde u é um vetor unitário perpendicular a dS, equivalente a dS.

Lei de Ampère-Maxwell na forma diferencial

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De forma similar à usada no tópico Lei de Ampère na forma diferencial, usa-se um caminho retangular elementar de lados dx e dy no plano xy, de área dS = dx dy (Figura 01).

No tópico mencionado, é desenvolvida a integral de linha do vetor campo elétrico (E). Para o vetor campo magnético B (lado esquerdo da igualdade #A.1# do tópico anterior), o processo é exatamente o mesmo e aqui não é repetido. O resultado é:

∫₁₂₃₄ B · dℓ = [ (∂B_y/∂x) − (∂B_x/∂y) ] dx dy.

Fig 01

Resolvendo as integrais do lado direito da equação #A.1# do tópico anterior,

∫_S E · u dS = E_z dx dy.

∫_S j · u dS = j_z dx dy.

Substituindo estes no lado direito e o anterior no esquerdo e removendo por simplificação o produto dx dy,

(∂B_y/∂x) − (∂B_x/∂y) = μ₀ε₀ ∂E_z/ ∂t + μ₀ j_z #A.1#.

De modo semelhante a outras demonstrações anteriores, considera-se agora o retângulo 1234 nos planos yz e, depois, em xz. Os resultados serão similares ao anterior:

(∂B_z/∂y) − (∂B_y/∂z) = μ₀ε₀ ∂E_x/ ∂t + μ₀ j_x #A.2#.

(∂B_x/∂z) − (∂B_z/∂x) = μ₀ε₀ ∂E_y/ ∂t + μ₀ j_y #A.3#.

Dos conceitos e definições sobre campos e operadores vetoriais, conclui-se que a soma das igualdades #A.1#, #A.2# e #A.3# equivale à igualdade abaixo, que é a forma diferencial da lei de Ampère-Maxwell:

rot B = μ₀ε₀ ∂E / ∂t + μ₀ j #B.1#.

Tabela resumo das leis

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Notar semelhança com a tabela da página Eletromagnetismo V-30. Na realidade, as diferenças estão na terceira e quarta igualdades, com a introdução de parcelas referentes a variações de campos com o tempo. No caso de campos estacionários, (∂B/∂t) = 0 e (∂E/∂t) = 0 e as equações são as mesmas da tabela da página mencionada.

Quanto às duas primeiras (leis de Gauss para campo elétrico e magnetismo), experimentos demonstram que continuam válidas para campos não estacionários e, portanto, permanecem sem modificações.

Lei de	Forma integral	Forma diferencial
Gauss p/ campo elétrico	∫S E · u dS = q / e0	div E = ρe / ε0
Gauss p/ magnetismo	∫S B · u dS = 0	div B = 0
Indução de Faraday	∫ℓ E · dℓ = − d[∫S B · u dS ] / dt	rot E = − ∂B/∂t
Ampère-Maxwell	∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 d[ ∫S E · u dS ] / dt + μ0 ∫S j · u dS	rot B = μ0ε0 ∂E/∂t + μ0 j

Os parâmetros das equações acima são resumidos a seguir.

B	vetor campo magnético
div	divergência (operador vetorial)
E	vetor campo elétrico
ε0	constante de permissividade elétrica do vácuo
i	corrente elétrica
j	vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)
ℓ	caminho (linha) fechado
μ0	constante de permeabilidade magnética do vácuo
q	carga elétrica
rot	rotacional (operador vetorial)
ρe	densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)
S	superfície fechada
u	vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS