Lei de indução de Faraday

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A formulação simplificada para a força eletromotriz induzida em uma espira por um campo magnético variável é

V_e= − dΦ_B / dt #A.1#.

Consideram-se agora as igualdades:

• diferença de potencial elétrico em um caminho: V_A − V_B = ∫_ℓ E · dℓ.

• definição de fluxo de campo magnético: Φ_B = ∫_S B · dS.

Substituindo em #A.1#,

∫_ℓ E · dℓ = − d[ ∫_S B · dS ] / dt #B.1#.

Ou, conforme notação já usada, pode-se substituir dS por u dS, onde u é um vetor unitário perpendicular à superfície infinitesimal dS:

∫_ℓ E · dℓ = − d[ ∫_S B · u dS ] / dt #B.2#.

Lei de indução de Faraday na forma diferencial

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Seja, conforme Figura 01 abaixo, um caminho retangular elementar 1234 no plano xy, tal que os comprimentos dos lados sejam dx e dy e a área infinitesimal envolvida dS = dx dy.

Na expressão esquerda da igualdade #B.2# do tópico anterior, a integral pode ser subdividida:

∫₁₂₃₄ E · dℓ = ∫₁₂ E · dℓ + ∫₂₃ E · dℓ + ∫₃₄ E · dℓ + ∫₄₁ E · dℓ.

Supõe-se que os lados 23 e 41 estão sob ação dos vetores de campo elétrico E₂ e E₁ respectivamente. Nesses lados, o produto escalar E · dℓ é igual ao produto do componente vertical (y) de E por dℓ, que é igual a +dy para 23 e −dy para 41. Assim, com a divisão / multiplicação por dx na última relação,

∫₂₃ E · dℓ + ∫₄₁ E · dℓ = E_2y dy − E_1y dy = (E_2y − E_1y) dy = dE_y dy = (∂E_y/∂x) dx dy.

Fig 01

De forma similar, considerando por exemplo campos E₂' e E₁' (não indicados na figura) para os lados 34 e 12, chega-se ao resultado:

∫₁₂ E · dℓ + ∫₃₄ E · dℓ = − (∂E_x/∂y) dx dy.

E a integral pode ser dada por:

∫₁₂₃₄ E · dℓ = [ (∂E_y/∂x) − (∂E_x/∂y) ] dx dy.

Para o lado direito da igualdade #B.2# do tópico anterior,

∫_S B · u dS = B_z dx dy, uma vez que a área infinitesimal dS é igual a dx dy.

Combinando as igualdades finais anteriores para a lei de Faraday,

[(∂E_y/∂x) − (∂E_x/∂y)] dx dy = − ∂B_z dx dy / ∂t. Simplificando,

(∂E_y/∂x) − (∂E_x/∂y) = − ∂B_z / ∂t #A.1#.

Considerando o retângulo 1234 nos planos xz e yx, chega-se a resultados similares:

(∂E_z/∂y) − (∂E_y/∂z) = − ∂B_x / ∂t #A.2#.

(∂E_x/∂z) − (∂E_z/∂x) = − ∂B_y / ∂t #A.3#.

As igualdades #A.1#, #A.2# e #A.3# podem ser somadas e o resultando é

rot E = − ∂B / ∂t #B.1#.

É, portanto, uma expressão muito mais compacta que a forma integral do tópico anterior.