Lei de Ampère na forma genérica

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A formulação simplificada da lei de Ampère para o eletromagnetismo estabelece uma relação entre a corrente elétrica em um condutor e o vetor do campo magnético induzido em um caminho fechado ℓ:

∫_ℓ B · dℓ = μ₀ i #A.1#.

Fig 01

Entretanto, essa fórmula é válida para apenas um condutor. No caso de vários, conforme exemplo da Figura 01, a corrente i é a soma das correntes individuais.

No caso mais genérico, considera-se i a integração dos fluxos de corrente conforme conceito dado na página anterior. Assim,

∫_ℓ B · dℓ = μ₀ ∫_S j · u dS #B.1#.

Onde S são as superfícies cortadas por ℓ por onde circulam correntes elétricas e μ₀, conforme visto na página citada, é a constante de permeabilidade magnética do meio considerado (vácuo).

Lei de Ampère na forma diferencial

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Seja, conforme Figura 01, um caminho retangular infinitesimal 1234 no plano xy tal que os lados têm comprimentos dx e dy.

Desde que se trata de um retângulo, a integral de linha pode ser subdividida para cada lado:

∫₁₂₃₄ B · dℓ = ∫₁₂ B · dℓ + ∫₂₃ B · dℓ + ∫₃₄ B · dℓ + ∫₄₁ B · dℓ.

Consideram-se agora os lados 41 e 23, onde atuam os vetores de campo magnético B₁ e B₂ respectivamente.

Em 23, dℓ = dy e, portanto, ∫₂₃ B · dℓ = B_2y dy.

Em 41, dℓ = −dy e, portanto, ∫₄₁ B · dℓ = −B_1y dy.

Somando as duas igualdades e dividindo / multiplicando o resultado por dx,

∫₂₃ B · dℓ + ∫₄₁ B · dℓ = (B_2y − B_1y) dy = dB_y dy = (∂B_y/∂x) dx dy.

Fig 01

Aqui não é demonstrado nem está indicado na figura, mas, se adotado procedimento similar para os lados 12 e 34 (campos B'₁ e B'₂ atuando sobre mesmos), o resultado será:

∫₁₂ B · dℓ + ∫₃₄ B · dℓ = −(∂B_x/∂y) dx dy.

Portanto, a integração global pode ser dada por:

∫₁₂₃₄ B · dℓ = (∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y) dx dy.

Para a corrente, deve-se considerar, conforme lei de Ampère, que essa integração é igual a μ₀ di, uma vez que é suposto um caminho infinitesimal. E o produto escalar j · u é igual a j_z. E a área dS é dx dy.

Então, de acordo com a igualdade #B.1# do tópico anterior,

(∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y) dx dy = μ₀ j_z dx dy. Simplificando,

∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y = μ₀ j_z #A.1#.

Aplicando o mesmo raciocínio para caminhos retangulares nos planos yz e xz, chega-se a resultados similares:

∂B_z/∂y − ∂B_y/∂z = μ₀ j_x #A.2#.

∂B_x/∂z − ∂B_z/∂x = μ₀ j_y #A.3#.

Se as três últimas igualdades são somadas, verifica-se que:

• o lado esquerdo é o rotacional do campo vetorial B.
• o lado direito é o vetor j multiplicado pelo escalar μ₀.

E a forma diferencial da Lei de Ampère para o eletromagnetismo é simplesmente escrita como:

rot B = μ₀ j #A.1#.

Significado físico

Ao contrário da divergência, o rotacional é um campo vetorial. Para cada ponto há um vetor que o define. Retornando à analogia com o movimento de uma massa de água, rotacional não nulo significa um redemoinho. Para o eletromagnetismo, significa que não pode haver campo magnético se não houver corrente elétrica. Para um campo elétrico, o rotacional é sempre nulo (rot E = 0) pois, conforme já visto, a integração ao longo de um caminho fechado é sempre nula.

Lei de Gauss para o magnetismo

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O fluxo de campo magnético em uma superfície S é dado pela relação já vista em páginas anteriores:

Φ_B = ∫_S B · dS #A.1#.

Onde B é o vetor campo magnético atuante em cada porção elementar da superfície (dS) e dS é um vetor de módulo dS perpendicular à essa superfície infinitesimal.

O produto escalar acima pode ser dado com o uso do vetor unitário u, perpendicular a dS:

Φ_B = ∫_S B · u dS #B.1#.

É um conceito semelhante ao fluxo de campo elétrico, mas com uma importante diferença: se S é uma superfície fechada, ocorre sempre

Φ_B = ∫_S B · u dS = 0 #C.1#.

O desenvolvimento da forma diferencial não é apresentado porque é basicamente o mesmo do fluxo de campo elétrico da página anterior. E o resultado é:

div B = 0 #D.1#.

Significado físico

Tanto para o campo elétrico quanto para o magnético, são consideradas superfícies fechadas. Conforme já visto, a divergência não nula do campo elétrico indica a existência de carga elétrica no interior da superfície, ou seja, fonte ou sumidouro de linhas de força na analogia com um fluido. No caso do campo magnético, a divergência é sempre nula, significando a impossibilidade da existência de cargas ou pólos magnéticos isolados.

Tabela-resumo das leis

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Conforme já mencionado, as leis e formulações vistas até aqui se referem a campos estacionários, isto é, campos cujos valores em cada ponto não variam com o tempo. O espaço considerado é o vácuo. A tabela abaixo dá o resumo das principais igualdades.

Lei ou igualdade	Forma integral	Forma diferencial
Lei de Ampère p/ eletromagnetismo	∫ℓ B · dℓ = μ0 i	rot B = μ0 j
Lei de Gauss	∫S E · u dS = q / ε0	div E = ρe / ε0
Lei de Gauss para o magnetismo	∫S B · u dS = 0	div B = 0
Potencial elétrico em caminho fechado	∫ℓ E · dℓ = 0	rot E = 0

Os parâmetros das equações acima são resumidos a seguir.

B	vetor campo magnético
div	divergência (operador vetorial)
E	vetor campo elétrico
ε0	constante de permissividade elétrica do vácuo
i	corrente elétrica
j	vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)
ℓ	caminho (linha) fechado
μ0	constante de permeabilidade magnética do vácuo
q	carga elétrica
rot	rotacional (operador vetorial)
ρe	densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)
S	superfície fechada
u	vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS