Lei de Gauss na forma diferencial

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Se uma superfície fechada S contém carga elétrica total q, então, segundo a lei de Gauss,

ε₀ Φ_E = q #A.1#. Onde Φ_E é o fluxo de campo elétrico, que, por sua vez, é definido como

Φ_E = ∫_S E · dS #A.2#. Ou seja, é a integração do produto escalar dos vetores campo elétrico (E) e superfície infinitesimal dS.

Na igualdade acima, dS é um vetor de módulo dS e perpendicular à superfície infinitesimal. Também pode ser usado um vetor unitário u:

Φ_E = ∫_S E · u dS #A.3#.

Combinando as igualdades anteriores, ∫_S E . dS = q / ε₀ #B.1#.

Para o desenvolvimento da forma diferencial, considera-se, conforme Figura 01, uma superfície fechada elementar em forma de paralelepípedo com arestas de comprimentos dx, dy e dz e, por simplicidade, paralelas aos eixos de coordenadas correspondentes.

Sejam duas faces opostas dS_x1 e dS_x2 ao longo do eixo x. A área de ambas é dada por dy dz.

Em dS_x1, o vetor campo elétrico é E₁ e o componente perpendicular é E_x1 (= E₁ cos α₁). E de forma similar para a superfície dS_x2.

Desde que a superfície fechada considerada é elementar, é lícito supor que a diferença entre os componentes anteriores é a variação infinitesimal do campo elétrico ao longo do eixo x. Assim,

dE_x = E_x2 − E_x1.

O valor de dE_x não se altera se dividido e multiplicado por dx. Assim, dE_x = (∂E_x/∂x) dx. E o fluxo de campo elétrico na direção x será esse valor multiplicado pela área (dy dz):

Φ_Ex = dE_x dy dz= (∂E_x/∂x) dx dy dz.

Mas dx dy dz = dv (volume elementar). Portanto, o fluxo correspondente às duas superfícies em estudo é

Φ_Ex = (∂E_x/∂x) dv.

Fig 01

Resultados similares são obtidos para os dois pares restantes de faces (Φ_Ey e Φ_Ez) e o fluxo total é dado por:

Φe = (∂E_x/∂x) dv + (∂E_y/∂y) dv + (∂E_z/∂z) dv.

Φe = [ (∂E_x/∂x) + (∂E_y/∂y) + (∂E_z/∂z) ] dv.

Conforme Lei de Gauss, o fluxo deve ser igual a

dq / ε₀ (dq porque a superfície fechada considerada é elementar). Assim,

[ (∂E_x/∂x) + (∂E_y/∂y) + (∂E_z/∂z) ] dv = dq / ε₀.

Ou, reagrupando, (∂E_x/∂x) + (∂E_y/∂y) + (∂E_z/∂z) = dq / (dv ε₀).

A relação dq/dv é a carga elétrica por unidade de volume, usualmente conhecida como densidade de carga e simbolizada por ρ_e.

ρ_e = dq / dv #C.1#.

Portanto,

(∂E_x/∂x) + (∂E_y/∂y) + (∂E_z/∂z) = ρ_e / ε₀ #D.1#.

Dos conceitos sobre campos e operadores vetoriais, pode ser deduzido que o lado esquerdo dessa igualdade é a divergência do campo e a Lei de Gauss pode ser expressa de modo bastante resumido na sua forma diferencial:

div E = ρ_e / ε₀ #D.2#.

Significado físico

A divergência de um campo vetorial é uma função definida por um valor escalar em cada ponto. Considerando, por exemplo, um campo vetorial que representa o movimento de uma massa de água, um ponto de divergência não nula significa que água é adicionada ao sistema ou drenada do mesmo (fonte ou sumidouro). No caso do campo elétrico, a divergência não nula indica uma densidade de carga elétrica no ponto considerado, ou seja, cargas elétricas são fontes ou drenos de linhas de força.