Efeito Doppler

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O nome é dado em homenagem ao seu descobridor, o físico austríaco C J Doppler.

Uma frente de onda pode ser entendida como o lugar geométrico de todos os pontos do meio físico que são alcançados pelo movimento ondulatório no mesmo intervalo de tempo.

Seja um movimento ondulatório onidirecional e uniforme, produzido por uma fonte localizada no pequeno círculo interno conforme Figura 01 (estão considerados movimentos em um plano, mas o conceito pode ser facilmente estendido para o espaço, com o uso de esferas em vez de círculos).

Fig 01

Se a fonte emissora está em repouso como em (a) da figura, as frentes de onda são círculos concêntricos e igualmente espaçados, se os incrementos dos intervalos de tempo são iguais.

Se a fonte está em movimento, as frentes se deslocam e não são concêntricas, conforme (b) da mesma figura.

Desde que são considerados incrementos de tempo iguais entre as frentes, um observador em 2 registra um comprimento de onda menor (ou uma freqüência maior) e o contrário para um observador em 1. No dia-a-dia, isso é facilmente observado com ondas sonoras. Uma fonte móvel (a sirene de uma ambulância, um avião, etc) parece ter um som mais agudo quando se aproxima e mais grave quando se afasta.

Para obter a relação matemática, é usado o modelo da Figura 02, considerando, por simplicidade, que a fonte (F) e o observador (O) estão na mesma linha. A fonte se move com velocidade constante v_F e o observador, v_O.

Fig 02

No instante inicial de tempo (t = 0), a fonte está em F1 e o observador, em O1 (a distância entre os mesmos, F1O1, é x).

Nesse instante, a fonte emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo t. Assim, no tempo t, o observador se move v_O t e a onda, x + v_O t.

Considerando v a velocidade de propagação da onda, ela percorre nesse tempo uma distância v t, que deve ser igual à distância percorrida pela onda conforme cálculo anterior, ou seja,

v t = x + v_O t.

Depois de um tempo t_F, a fonte está em F2 e, nesse instante, emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo t_O, medido em relação ao tempo inicial t = 0. E a distância que a onda percorre até atingir o observador é

x − v_F t_F + v_O t_O.

Mas o tempo real do percurso da onda é t_O − t_F e, portanto, a distância é v (t_O − t_F), onde v é a velocidade de propagação da onda conforme já dito. Fazendo a igualdade com ambos os cálculos de distâncias, tem-se:

v (t_O − t_F) = x − v_F t_F + v_O t_O.

Ou t_O = [ x + (v − v_F) t_F ] / (v − v_O).

Da igualdade anterior, v t = x + v_O t, obtém-se t = x / (v − v_O).

Pelas considerações aplicadas, t é o tempo em que o observador registra a emissão em F1 e t_O, o tempo em que registra a emissão em F2. Assim, o intervalo de tempo registrado entre as duas emissões é

Δt = t_O − t = (v − v_F) t_F / (v − v_O).

No tempo t_F, a fonte emite um número n de períodos dado por n = f_F t_F, onde f_F é a freqüência da fonte. E o observador recebe esse mesmo número no intervalo Δt. Assim, a freqüência registrada por ele é

f_O = f_F t_F / Δt.

E, substituindo Δt pela igualdade anterior,

f_O = f_F (v − v_O) / (v − v_F) #A.1#. Onde, recapitulando o significado das variáveis,

f_O: freqüência registrada pelo observador
f_F: freqüência da fonte emissora
v_O: velocidade do observador
v_F: velocidade da fonte emissora
v: velocidade de propagação da onda.

O efeito Doppler tem importantes aplicações. Em Astronomia, para demonstrar o afastamento de estrelas ou galáxias, através do deslocamento de raias do espectro (universo em expansão). Radares de efeito Doppler são usados para medir velocidade de corpos móveis. Também em instrumentação com ultra-sons, etc.

Fig 03

Embora não mencionado explicitamente, as considerações anteriores pressupõem que a velocidade de deslocamento da fonte é menor que a velocidade de propagação da onda.

Caso contrário, isto é, a velocidade da fonte é maior que a de propagação, ela estará sempre adiante das frentes de onda, conforme indicado na Figura 03 ao lado.

Aqui não é dado o desenvolvimento matemático. Pode-se demonstrar que o resultado é um cone de propagação conforme parte inferior da figura e que vale a relação

sen α = v / v_F.

Esse fenômeno é denominado onda de choque e, por exemplo, pode ser sentido na passagem de um avião supersônico. Também pode ser observado no rastro deixado na água por um barco veloz.