Ondas em uma barra

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Seja uma barra cilíndrica, homogênea de um material elástico. Na Figura 01 A, é aplicada uma força e uma seção infinitesimal genérica dx está na posição indicada.

Em B da mesma figura, a tensão devido à força desloca a seção para a posição indicada e ela tem a espessura aumentada para (dx + dℓ). Então, a deformação da seção devido à tração é

e = ∂ℓ/∂x.

Desde que o material é elástico, conforme a lei de Hooke, a tensão σ aplicada é proporcional à deformação:

σ = E e. Onde E é o módulo de elasticidade do material.

Fig 01

Considerando a situação estática, as forças que atuam em ambos os lados são iguais:

F_d = F_e = F.

Desde que a tensão é a relação entre a força e a área S da seção transversal da barra

σ = F / S, pode-se substituir esse valor na igualdade anterior:

F = E S ∂ℓ/∂x.

Derivando em relação a x, dF / dx = E S ∂²ℓ / ∂x².

Supõe-se agora que a barra recebe um golpe longitudinal em uma extremidade. A prática mostra que uma onda de choque percorre a barra. Nesse caso, as forças que atuam sobre cada seção infinitesimal não mais são idênticas. Assim,

dF (= F_d − F_e) será a força que acelera a seção.

dF pode ser escrita como dF = (∂F/∂x) dx.

Considerando μ a massa específica do material, a massa da seção infinitesimal é dada por:

dm = μ dV = μ S dx.

A aceleração da seção é

a = ∂²ℓ/∂t².

Então, conforme lei de Newton, a força dF é igual ao produto da massa pela aceleração:

dF = (∂F/∂x) dx = dm a = μ S dx ∂²ℓ/∂t².

Ou, reagrupando, ∂F / ∂x = μ S ∂²ℓ / ∂t².

Igualando com a equação anterior e simplificando,

∂²ℓ / ∂t² = (E/μ) ∂²ℓ / ∂x² #A.1#.

Essa é a forma diferencial da equação de uma onda conforme visto em página anterior.

Portanto, a velocidade de propagação é dada por:

v = (E / μ)^1/2 #B.1#. Onde

E: módulo de elasticidade do material.
μ: massa específica do material.

Isso significa que ela só depende das propriedades do material. Não depende das dimensões físicas da barra.

Este é um exemplo simples de onda unidimensional em meio físico. Na prática, as ondas podem ter duas ou três dimensões, como ondas na superfície de um líquido e ondas sonoras.