Equação de uma onda

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Pode-se definir onda como uma variação de uma grandeza física que se propaga através de algum meio. Seja f(x) uma função que representa a variação dessa grandeza na forma genérica da primeira curva (próxima do eixo vertical) da Figura 01 deste tópico.

Fig 01

Uma função g, que represente o deslocamento de f(x), deve, por exemplo, ter o mesmo valor f(x) quando x for igual a (x + d), ou seja deve ser igual a f(x − d).

Se x for igual a (x + 2d), deve ter o valor f(x − 2d).

Portanto, para representar a onda, a função pode ter a forma:

g(x, t) = f(x ± v t) #A.1#. Onde:

• t: tempo.
• v: velocidade.

Se o sinal é negativo, ela se propaga na direção indicada pela seta e, se é positivo, a propagação se dá na direção oposta.

É possível demonstrar que a forma diferencial de g é

∂²g / ∂t² = v² ∂²g / ∂x² #B.1#.

Onda senoidal

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Considerando, por simplicidade, a propagação em apenas uma direção, uma onda senoidal pode ser expressa por

g(x, t) = A sen k (x − v t) #A.1#.

Adicionando 2 π / k ao valor de x,

g(x + 2 π / k, t) = A sen k (x + 2 π / k − v t) = A sen [ k(x − vt) + 2π ] = A sen k (x − v t), que é a equação anterior. Portanto,

g(x + 2 π / k, t) = g(x, t).

Isso significa que (2 π / k) é o intervalo no espaço para o qual os valores se repetem, ou seja, é o comprimento da onda, que tradicionalmente é simbolizado pela letra grega lambda minúsculo:

λ = 2 π / k #A.2#.

E a equação anterior pode ser escrita

g(x, t) = A sen (2 π / λ) (x − v t) #A.3#.

Fig 01

De #A.1#, g(x, t) = A sen (k x − k v t).

No movimento senoidal, o coeficiente da variável tempo é a velocidade angular ω. Assim,

ω = k v = (2 π / λ) v.

E a velocidade angular é dada por 2 π f, onde f é a freqüência. Fazendo a igualdade,

2 π f = k v = (2 π / λ) v ou

v = λ f #B.1#.

Ou seja, a velocidade de propagação de uma onda senoidal é igual ao produto do seu comprimento de onda pela sua freqüência.

E outras formas da função da onda senoidal são dedutíveis com as igualdades anteriores:

g(x, t) = A sen (k x − ω t) = A sen 2 π (x / λ − f t) = A sen 2 π (x / λ − t / P) #C.1#.

Onde P é o período = 1 / f #C.2#.

Aqui não é demonstrado, mas não é difícil deduzir que uma outra forma da equação genérica de uma onda é

g(x, t) = F(t ± x / v).

E, para uma onda senoidal,

g(x, t) = A sen (ω t ± k x) #D.1#.