Formulação estendida da lei de indução de Faraday

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De acordo com a lei de Faraday, um campo magnético variável induz em uma espira uma força eletromotriz dada por

V_e= − dΦ_B / dt.

A força eletromotriz é uma tensão ou diferença de potencial elétrico. Isso sugere a existência de um campo elétrico E ao longo da espira, conforme Figura 01.

Se uma carga elétrica q circula pela espira sob uma diferença de potencial V_e, o trabalho realizado é

W = V_e q, conforme definição de potencial elétrico.

Mas o trabalho também é dado pelo produto da força atuante (q E) pela distância percorrida (2 π R).

Fig 01

Assim, V_e q = q E 2 π R ou

V_e = E 2 π R.

O produto da intensidade do campo pelo comprimento da circunferência indica uma integração ao longo da espira do produto escalar dos vetores campo e deslocamento infinitesimal. Portanto, a lei de indução de Ampère pode ser escrita de forma mais genérica

∫ E · dℓ = − dΦ_B / dt #A.1#.

A simetria da questão sugere que um campo magnético com a mesma variação dΦ_B/dt em todos os pontos deve produzir um campo elétrico cujas linhas de força são circunferências concêntricas.

Campo magnético produzido por um campo elétrico

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A formulação genérica da lei de Faraday leva a supor a ocorrência do processo inverso, isto é, um campo elétrico variável produz um campo magnético.

Na Figura 01 deste tópico, uma tensão linearmente variável com o tempo é aplicada nas placas do capacitor. O campo magnético induzido tem formato circular e pode ser verificado que vale:

Fig 01

∫ B · dℓ = μ₀ ε₀ dΦ_E / dt #A.1#.

De acordo com a lei de Ampère, uma corrente circulando por um condutor produz um campo magnético tal que

∫B · dℓ = μ₀ i #B.1#.

Essas duas equações sugerem a existência de uma forma mais genérica:

∫B · dℓ = μ₀ ε₀ dΦ_E / dt + μ₀ i #C.1#.

Pode-se, portanto, dizer que a formulação acima, descoberta por Maxwell, é uma generalização da lei de Ampère. Também denominada lei de Ampère-Maxwell.

É evidente que a existência das duas parcelas depende de cada caso. Na fórmula usual da lei de Ampère, só há a parcela μ₀ i porque apenas a corrente no condutor é considerada. Na Figura 01, essa parcela não existe, pois somente o campo entre as placas do capacitor é considerado.

O produto μ₀ i deve ter a mesma unidade física de μ₀ ε₀ dΦ_E / dt. Assim, ε₀ dΦ_E / dt tem unidade de corrente elétrica e pode ser nomeado

I = ε₀ dΦ_E / dt #C.2#.

E a equação pode ser reescrita:

∫B · dℓ = μ₀ ( I + i ) #D.1#.

A corrente I foi denominada corrente de deslocamento, representando uma corrente que passa entre as placas do capacitor. Mas é algo virtual porque não há passagem de cargas elétricas no dielétrico de um capacitor ideal. Pode entretanto ser considerada uma continuidade da corrente i que passa pelos fios ligados às placas do capacitor. No dielétrico, essa corrente se transforma na corrente virtual de deslocamento.

Essa relação mútua entre campos elétricos e magnéticos é a base para a existência de ondas eletromagnéticas, ou seja, variações periódicas de campos que se propagam sem necessidade de meios materiais. Alguns conceitos podem ser vistos nas próximas páginas.