Circuito magnético (cont)

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No exemplo da Figura 01 (A), as partes em cor cinza-claro são núcleos de material magnético ideal, de seções retangulares com as medidas indicadas.

A parte deslizante é guiada por camadas opostas de material não magnético, formando entreferros de espessura b = 2 mm. A permeabilidade magnética desse material é supostamente igual à do vácuo.

Fig 01

Determinar o fluxo magnético e a indutância na bobina quando a espessura do entreferro a for igual a 5 mm.

Solução:

Núcleo de material magnético ideal significa permeabilidade magnética infinita e relutância magnética zero (similar à resistência elétrica nula de um condutor ideal). Portanto, circuito magnético pode ser representado por uma fonte de força magnetomotriz F_m (bobina) e as relutâncias dos entreferros, como em (B) da figura.

Desde que as duas R_mb estão em paralelo, o circuito pode ser simplificado para (C) da mesma figura. Nessa situação, é possível aplicar a soma das relutâncias conforme visto na página anterior:

R_m = R_ma + (1/2) R_mb = [ a / (μ₀ S_a) ] + [ (1/2) b / (μ₀ S_b) ].

Substituindo os valores,

R_m = [ 5 10⁻³ / (μ₀ 20 40 10⁻⁶) ] + [ (1/2) 2 10⁻³ / (μ₀ 20 20 10⁻⁶ ] = 8,75 / μ₀.

Segundo relação dada na página anterior, F_m = N i = R_m Φ_B. Substituindo,

50 10 = Φ_B 8,75 / (4 π 10⁻⁷) ou Φ_B ≈ 0,0718 10⁻³ Wb. Da definição de fluxo de campo magnético, Φ_B = ∫ B · dS = B S.

Portanto, B = 0,0718 10⁻³ Wb / (20 40 10⁻⁶ m²) ≈ 90 10⁻³ T. A indutância é calculada com a fórmula do tópico anterior,

L = N² / R_m = 50² / [ 8,75 / (4 π 10⁻⁷) ] ≈ 0,36 mH.


Tabela de analogias entre grandezas de circuitos elétricos e magnéticos

Grandeza elétrica	Unid SI	Grandeza magnética	Unid SI
Campo elétrico E = V/x	V/m	Intensidade de campo magnético H = Fm/ℓ	A/m
Condutância elétrica G = 1/R	S	Permeância magnética P = 1/Rm	Wb/A
Condutividade elétrica σ	S/m	Permeabilidade magnética μ	Wb/(A m)
Corrente elétrica i = ∫ j · dS	A	Fluxo da campo magnético ΦB = ∫ B · dS	Wb
Densidade de corrente j	A/m2	Indução magnética B	Wb/m2 ou T
Força eletromotriz ou tensão elétrica V = R i	V	Força magnetomotriz Fm = N i = Rm ΦB	A
Resistência elétrica R = (1/σ) ℓ/S	Ω	Relutância magnética Rm = (1/μ) ℓ/S	A/Wb
Resistividade elétrica ρ = 1/σ	Ω m	Relutividade magnética ν = 1/μ	A m/Wb

Observações:
• Em conformidade com a analogia, a indução magnética B é muitas vezes denominada densidade de fluxo magnético.
• A unidade ampère (A) de várias grandezas magnéticas é também denominada ampère-espira, mas o símbolo não é alterado.


No exemplo da Figura 02 (a), o núcleo tem seção transversal quadrada e medidas conforme indicado. A permeabilidade relativa do material é 1150. Determinar o número de espiras da bobina para uma indução magnética na parte central de 0,2 T.

Fig 02

Solução:

As permeabilidades magnéticas são:

• Entreferro: considerada a do vácuo μ_mg = μ₀ = 4 π 10⁻⁷ Wb/(A m).
• Núcleo μ_mn = 1150 μ₀ = 1150 4 π 10⁻⁷ Wb/(A m).

A área da seção para entreferro e núcleo é S = 20 20 10⁻⁶ = 400 10⁻⁶ m².

O circuito equivalente é dado em (b) da figura. Pode-se então usar algo similar à lei das correntes de Kirchhoff para circuitos elétricos:

Φ_B1 = Φ_B2 + Φ_B3.

Os comprimentos para cálculo das relutâncias são:

ℓ₁ = 60 + 60 + 70 = 190 mm = 0,19 m.
ℓ₂ = ℓ₁ = 0,19 m.

ℓ_g = 0,0005 m.
ℓ₃ = 70 − 0,5 = 69,5 mm = 0,0695 m. Calculando as relutâncias magnéticas,

R_m1 = ℓ₁ / (μ_mn S) = 0,19 / (1150 μ₀ S) ≈ 0,000165 / (μ₀ S).

R_m2 = ℓ₂ / (μ_mn S) = 0,19 / (1150 μ₀ S) ≈ 0,000165 / (μ₀ S).

R_mg = ℓ_g / (μ_mg S) = 0,0005 / (μ₀ S).
R_m3 = ℓ₃ / (μ_mn S) = 0,0695 / (1150 μ₀ S) ≈ 0,00006 / (μ₀ S).

O fluxo de campo magnético na parte central é Φ_B3 = B₃ S = 0,2 400 10⁻⁶ = 80 10⁻⁶ Wb.

Desde que R_m2 está em paralelo com a série R_mg e R_m3, a força magnetomotriz em ambos é a mesma. Portanto,

R_m2 Φ_B2 = (R_mg + R_m3) Φ_B3. Ou 0,000165 / (μ₀ S) Φ_B2 = [0,0005 / (μ₀ S) + 0,00006 / (μ₀ S)] 80 10⁻⁶.

Φ_B2 ≈ 272 10⁻⁶ Wb.

Usando a relação anterior, Φ_B1 = Φ_B2 + Φ_B3 = 272 10⁻⁶ + 80 10⁻⁶ = 352 10⁻⁶ Wb.

A força magnetomotriz da bobina F_m deve ser igual à força em R_m1 mais a força em R_m2 (ou na série R_mg e R_m3, que é a mesma desta última).

F_m = R_m1 Φ_B1 + R_m2 Φ_B2 = [0,000165 / (μ₀ S)] 352 10⁻⁶ + [0,000165 / (μ₀ S)] 272 10⁻⁶.

F_m = 624 0,000165 10⁻⁶/ ( 4 π 10⁻⁷ 400 10⁻⁶ ) ≈ 205 A = N i = N 0,8. Portanto, N = 205 / 0,8 ≈ 256 espiras.