Bobina toroidal

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Uma bobina toroidal tem espiras enroladas em torno de um anel circular fechado conforme Figura 01. A parte de cor cinza é apenas a forma geométrica do anel, não significando núcleo de nenhum material, ou seja, só existe o enrolamento.

Fig 01

Se, ao contrário da idéia da figura, as espiras são bastante próximas entre si e uniformemente distribuídas, e a espessura do anel é pequena em relação ao raio, não haverá campo magnético externo e as linhas de indução serão circulares e concêntricas no interior do anel.

Sejam as grandezas:

R: raio médio do anel.
i: corrente que circula na bobina.
N: número de espiras.

Segundo a lei de Ampère, ∫ B · dℓ = μ₀ i. A simetria do arranjo sugere que o módulo da indução magnética é constante ao longo de uma circunferência interna. Portanto,

B 2 π R = µ₀ N i. Notar que deve ser usado N i e não i porque a corrente total ao logo do caminho de integração é a corrente em cada espira multiplicada pelo número de espiras. Assim,

B = μ₀ i N / (2 π R) #A.1#.

Há uma evidente semelhança com a fórmula para o solenóide ideal vista em páginas anteriores, B = μ₀ i N / ℓ, onde ℓ é o comprimento. Observar entretanto que, neste último, a indução magnética B é constante e, na bobina toroidal, é dependente da posição dada pelo raio R.

Materiais magnéticos e intensidade de campo magnético

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Da eletricidade pode ser visto que a capacitância de um capacitor de placas no vácuo aumenta se um material com propriedades dielétricas for inserido entre elas. No magnetismo ocorre algo parecido, isto é, alguns materiais têm propriedades magnéticas que podem alterar parâmetros relacionados. O ferro é o elemento magnético mais comum e de ampla utilização.

Seja, conforme (a) da Figura 01, uma bobina toroidal similar à do tópico anterior. De acordo com a hipótese a adotar, ela poderá ter núcleo de material magnético ou não ter núcleo.

Uma corrente i que circula por uma espira forma, conforme já visto, um dipolo magnético cuja grandeza vetorial associada é o momento de dipolo magnético:

μ = i S #A.1#, onde S é a área da espira. E um dipolo magnético de momento μ sob ação de uma indução magnética B sofre um momento mecânico (torque) dado por τ = μ × B #A.2#.

Se o dipolo magnético pode girar de forma livre, conclui-se facilmente que ele deverá se alinhar com o campo magnético B. Pode-se então supor, de forma simplificada, que materiais em geral contêm dipolos magnéticos elementares e que, nos materiais magnéticos, esses dipolos se alinham na direção do campo magnético externo.

Considera-se agora que o núcleo da bobina toroidal da Figura 01 (a) é de material magnético (ferro, por exemplo).

A magnetização (M) de um determinado volume no espaço é definida como o momento de dipolo magnético por unidade desse volume.

A parte (b) da Figura 01 representa uma fração infinitesimal de uma seção transversal dℓ com um momento de dipolo magnético dμ igual à soma dos dipolos elementares. Se S é a área transversal dessa seção, a magnetização será dada por:

M = dμ / dv = dμ / (S dℓ) #B.1#.

Se a bobina não tem núcleo, o campo magnético comporta-se segundo a lei de Ampère, ∫ B · dℓ = μ₀ i. #B.2#

A prática demonstra que o campo magnético aumenta com a introdução de um núcleo de material magnético. Para manter a lei de Ampère válida na presença deste último, considera-se uma hipotética corrente de magnetização (i_m), isto é, a corrente equivalente ao aumento de corrente na espira que produz o mesmo efeito do núcleo.

Reformula-se então a lei de Ampère:

∫ B · dℓ = μ₀ i + μ₀ i_m #C.1#.

Integrando ao longo da circunferência de raio R e considerando N o número de espiras,

B 2 π R = μ₀ N i + μ₀ N i_m #C.2#.

Voltando à igualdade #A.1# deste tópico, pode-se concluir que, para uma bobina de k espiras, o módulo do momento de dipolo magnético é

μ = k i S. Se N é o número total de espiras da bobina toroidal considerada, o número de espiras da seção da Figura 01 (b) é N dℓ / (2 π R). Substituindo pelo k da anterior,

dμ = i_m S N dℓ / (2 π R) #D.1#.

Na relação acima, é usada a corrente de magnetização i_m porque se supõe que o momento μ é produzido pelos dipolos magnéticos elementares do núcleo.

Fig 01

Da igualdade #B.1#, dμ = M S dℓ. Portanto, M S dℓ = i_m S N dℓ / (2 π R). Simplificando,

N i_m = M 2 π R #D.2#. Substituindo em #C.2#,

B 2 π R = μ₀ N i + μ₀ M 2 π R #E.1#.

Se o termo B 2 π R de #C.2# é ∫ B · dℓ de #C.1#, pode-se deduzir por analogia que M 2 π R equivale a ∫ M · dℓ. Portanto,

∫ B · dℓ = μ₀ i + μ₀ ∫ M · dℓ. Pode-se reagrupar para

∫ [ (B − μ₀ M) / μ₀ ] · dℓ = i #E.2#.

Assim, a lei de Ampère para uma corrente i em um meio de material magnético é dada por

∫ H · dℓ = i #F.1# (válida para uma espira). Onde

H = (B − μ₀ M) / μ₀ #F.2#.


A grandeza H é denominada intensidade de campo magnético.

Notar que, na igualdade #F.1#, i é a corrente que circula pelo intervalo dℓ e não contém a corrente de magnetização anterior. Isso fica bastante claro se a igualdade #F.2# é rearranjada para

B = μ₀ H + μ₀ M #F.3#.

Portanto, o campo magnético B é a soma das parcelas:

• μ₀ H: devida à ação da corrente i.
• μ₀ M: devida à magnetização do núcleo. Se não há núcleo, essa parcela é nula e B = μ₀ H.


Em várias situações práticas, é possível considerar uma proporcionalidade entre B e H na forma

B = K_m μ₀ H #G.1#.

K_m é denominado permeabilidade magnética relativa do meio (adimensional porque M e H são a mesma grandeza física).

Substituindo em #F.3#, M = (K_m − 1) H #G.2#.

Observar que não há dipolos magnéticos no vácuo e, portanto, M = 0. Assim, K_m = 1 para o vácuo.


A permeabilidade magnética absoluta do meio é um valor μ_m tal que

μ_m = K_m μ₀ #H.1#. Onde μ₀ = 4 π 10^-7 Wb / (A m) é a permeabilidade magnética do vácuo. E a igualdade #G.1# fica:

B = μ_m H #H.2#.


A suscetibilidade magnética do meio é dada por X_m = K_m − 1 #I.1#. É, portanto, nula para o vácuo.