Forças entre dois ímãs

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Em páginas anteriores foram vistas fórmulas para calcular, por exemplo, força de um campo magnético sobre carga elétrica em movimento, forças devido à ação magnética entre condutores elétricos. Em geral, o cálculo da força entre dois ímãs é complexo, pois depende das forma geométricas. Entretanto, para casos mais simples, é possível deduzir uma fórmula a partir da analogia com cargas elétricas.

Fig 01

Segundo a lei de Coulomb, a força entre duas cargas elétricas puntiformes (Figura 01) é dada por

F = [ 1/(4 π ε₀) ] (q₁ q₂ ⁄ r²) #A.1#, onde ε₀ é a constante de permissividade elétrica do vácuo (meio considerado neste estudo).

Esse modelo não pode ser, em princípio, aplicado para o magnetismo porque não há uma espécie de "carga magnética" isolada. Se um ímã for dividido em duas ou mais partes, cada parte será um novo ímã, com os dois pólos distintos, de forma idêntica à da parte original. Mas os modelos de dipolos elétrico e magnético têm suas semelhanças.

Fig 02

Dos conceitos sobre eletricidade, pode ser visto que o momento de um dipolo elétrico conforme Figura 02 (a) é dado por

p = q ℓ #B.1# (não é momento mecânico).

E o campo elétrico E, no eixo e a uma distância x (>> ℓ) do dipolo, é

E = 2 p / (4 π ε₀ r³) #B.2#.

Para (b) da figura, o momento de dipolo magnético é definido por

μ = N i S #C.1#. Onde N é o número de espiras da bobina, i a corrente circulante e S a área da seção transversal.

Observar que a definição não é semelhante à do elétrico porque, conforme já dito, não há "cargas magnéticas". A grandeza é estabelecida em função de uma bobina percorrida por uma corrente elétrica que produz o campo magnético.

Mas o campo magnético no eixo e a uma distância x (>> ℓ) é calculado de forma similar

B = μ₀ 2 μ / (4 π r³) #C.2#.

A diferença de posições dos parâmetros ε₀ e μ₀ é comentada em página anterior. Para efeito de posicionamento apenas, pode-se dizer que μ₀ "equivale" a 1/ε₀ (não é igualdade matemática). Valores numéricos são:

• Constante de permissividade elétrica do vácuo ε₀ ≈ 8,85 10⁻¹² C² / (N m²).

• Constante de permeabilidade magnética do vácuo μ₀ = 4 π 10⁻⁷ Wb m / A.

Fig 03

Também visto em página anterior que o campo magnético ao longo do eixo de um solenóide de comprimento finito (Figura 03) é:

B = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] (cos β − cos α) #D.1#.

Para a extremidade direita (P'):

β = 90º e, portanto, cos β = 0.

cos α = − ℓ / (ℓ² + R²)^1/2. Substituindo,

B = μ₀ i N / [2 (ℓ² + R²)^1/2].

Substituindo i N por μ / S (ver #C.1#), tem-se B S = μ₀ μ / [2 (ℓ² + R²)^1/2].

μ = B S [2 (ℓ² + R²)^1/2] / μ₀.

Da definição de dipolo elétrico (p = q ℓ ), pode-se imaginar a analogia com uma "carga magnética virtual" g tal que

μ = g ℓ. Substituindo na anterior,

g = 2 B S (ℓ² + R²)^1/2 / (μ₀ ℓ) #E.1#.

Consideram-se agora os dois dipolos elétricos de comprimento ℓ e distantes x um do outro conforme Figura 04 (a). Há duas atrações e duas repulsões entre cargas e, portanto, pode-se calcular a resultante das forças entre ambos de acordo com a igualdade #A.1# (lei de Coulomb):

F = [ 1/(4 π ε₀) ] q² / x² + [ 1/(4 π ε₀) ] q² / (x + 2L)² − [ 1/(4 π ε₀) ] q² 2 / (x + ℓ)².

F = [ 1/(4 π ε₀) ] q² [ 1/x² + 1/(x + 2L)² − 2/(x + ℓ)² ] #F.1#.

Fig 04

Para dois ímãs cilíndricos de comprimento ℓ, raio R, área transversal S (= π R²) e distantes x entre si, a analogia é

• (1/ε₀) equivale a μ₀.

• q equivale a g da igualdade #E.1#.

Substituindo, F = [ B² S² (ℓ² + R²) / (π μ₀ ℓ²) ] [ 1/x² + 1/(x + 2L)² − 2/(x + ℓ)² ] #G.1#.

Para ímãs de seção retangular, uma aproximação pode ser obtida com a hipótese de cilíndricos de mesma seção transversal.

Iniciando uma nova analogia, calculamos agora a força entre placas de um capacitor de placas planas e paralelas, com cargas +q e −q para cada e área S conforme Figura 05.

Fig 05

Desde que as placas têm cargas opostas, há uma força F de atração entre as mesmas. Evidentemente, algum suporte não indicado na figura mantém a distância d entre placas. Isso significa, portanto, uma energia potencial igual ao produto da força pela distância

E_p = F d.

E esse valor deve ser igual à energia armazenada no capacitor.

Das relações de eletricidade, essa energia é W = C V² / 2, onde C é a capacitância e V a tensão entre placas.

Da definição de capacitância, C = q / V, chega-se a W = (q / V) V² / 2 = q V / 2. Igualando com a anterior,

F d = q V / 2 ou F = q (V/d) / 2.

Segundo o conceito de potencial elétrico, V/d = E (campo elétrico). Obtém-se então a força entre placas em função da carga de cada placa e do campo elétrico entre elas

F = q E / 2 #H.1#.

Observar que o resultado é equivocado se usada a definição de campo elétrico E = F/q ou F = q E. Isso é explicado pelo fato de o campo E ser resultado da ação de duas placas e não uma. Mas o que se deseja é a força em uma placa e, por isso, deve-se usar a metade do valor do campo (E/2).

Fig 06

Aplicando a lei de Gauss para uma placa do capacitor,

q = ε₀ Φ_E = ε₀ E S. Substituindo em #H.1#,

F = ε₀ E² S / 2.

Na analogia com o campo magnético, ε₀ é substituído por 1/μ₀:

F = B² S / (2 μ₀) #I.1#.

Essa fórmula dá uma aproximação para a força que um ímã exerce sobre uma superfície de material magnético bem próxima de um pólo conforme ilustração da Figura 06.