Dipolos elétrico e magnético

Topo | Fim

O conceito de dipolo elétrico já foi visto em página anterior da série sobre eletricidade: duas cargas de mesma intensidade e opostas mantidas a certa distância uma da outra.

Fig 01

E o momento de dipolo elétrico (não é momento mecânico) é um vetor de módulo igual ao produto da intensidade das cargas pela distância entre elas:

p = d q #A.1#. Ver Figura 01.

Pode ser demonstrado que os componentes do campo elétrico em um ponto genérico P situado a uma distância r do centro do dipolo são dados por:

E_N = 2 p cos α / (4 π ε₀ r³) #B.1#.

E_t = p sen α / (4 π ε₀ r³) #B.2#.

Na espira do tópico Campo magnético de uma espira circular, se o seu raio R é pequeno em relação a x, pode-se desprezar o primeiro e a equação #B.1# do mesmo tópico fica

B = μ₀ μ / (2 π x³) ou

B = μ₀ 2 μ / (4 π x³) #C.1#.

Fig 02

Essa igualdade dá o campo ao longo do eixo, isto é, com α = 0 na Figura 02.

Se isso é feito para o dipolo elétrico anterior, tem-se o campo na direção do eixo (com r = x)

E = 2 p / (4 π ε₀ x³) #D.1#.

Notar a semelhança para a fórmula anterior (#C.1#) do campo ao longo do eixo de um dipolo magnético.

A diferença básica está na posição dos parâmetros μ₀ e ε₀. Assim, pode-se dizer que, no magnetismo, a constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ₀) "equivale" ao inverso da constante de permissividade elétrica no vácuo (1/ε₀) da eletricidade. Naturalmente, isso se refere ao posicionamento nas fórmulas. Não há igualdade matemática.

Há outras fórmulas que confirmam essa relação. Seja a energia armazenada por unidade de volume:

Em um capacitor básico no vácuo u = ε₀ E² / 2.

Em um indutor no vácuo u = B² / (2 μ₀).

Voltando ao dipolo magnético da Figura 02, pode-se então escrever as fórmulas dos componentes do campo magnético em um ponto genérico P por simples analogia com as fórmulas do dipolo elétrico (com a hipótese anterior de R << r):

B_N = μ₀ 2 μ cos α / (4 π r³) #E.1#.

B_t = μ₀ μ sen α / (4 π r³) #E.2#.

Campo magnético de um solenóide

Topo | Fim

Em página anterior, foi deduzida uma igualdade simples para o campo da região central de um solenóide de comprimento grande em relação ao diâmetro. Seja agora o campo em um ponto P no eixo de um solenóide genérico de comprimento L conforme esquema da Figura 01.

Se N o número total de espiras do solenóide, o número de espiras por unidade de comprimento é

n = N / ℓ #A.1#.

E o número de espiras em uma porção infinitesimal dx é n dx.

Para uma espira, o campo no eixo a uma distância x é dado pela igualdade #A.1# do tópico Campo magnético de uma espira circular:

Fig 01

B = μ₀ i R² / [ 2 (R² + x²)^3/2 ].

Então, para o ponto P da figura, o campo dB resultante de um segmento dx deve ser essa igualdade multiplicada pelo número de espiras em dx (n dx):

dB = μ₀ i R² n dx / [2 (R² + x²)^3/2].

dB = μ₀ i R² N dx / [2 ℓ (R² + x²)^3/2].

dB = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] R² dx / (R² + x²)^3/2.

Conforme relações trigonométricas, tan φ = R / x ou x = R / tan φ ou x = R cot φ.

Diferenciando a última, dx = − R cosec² φ dφ.

Da trigonometria, cosec φ = 1 / sen φ = PA / R ou PA = R cosec φ.

Mas PA² = (R² + x²). Assim (R² + x²) = R² cosec² φ.

Substituindo tudo, dB = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] R² (− R cosec² φ dφ) / (R² cosec² φ)^3/2. Simplificando,

dB = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] ( − sen φ d φ). Então, o campo total é a integração de φ = α até φ = β:

B = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] ∫_α,β ( − sen φ d φ).

B = [ μ₀ i N / (2 ℓ) ] (cos β − cos α) #B.1#.

Se o solenóide é grande e o ponto P está no centro, α ≈ 180º, cos α = −1, β ≈ 0 e cos β = 1.

E a igualdade anterior fica

B = μ₀ i n #C.1#, onde n = N / ℓ.

É a fórmula dada em página anterior para a região central de um solenóide ideal no vácuo.