Campo magnético de um condutor retilíneo

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Pode-se usar a lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético produzido por um condutor reto percorrido por uma corrente constante i. Ver esquema na Figura 01 deste tópico.

Na formulação vista na página anterior, dB = [ μ₀ i / (4 π) ] dℓ × r / r³, o vetor infinitesimal dℓ corresponde ao dx da figura.

Fig 01

Para um ponto P situado a uma distância R do fio,

dB = [ μ₀ i / (4 π) ] dx × r / r³.

Conforme definição de produto vetorial, o vetor dB é perpendicular ao plano dos vetores dx e r e tem sentido dado pela regra da mão direita. E o módulo do produto vetorial dx × r é dx r sen α. Substituindo, obtém-se o módulo do vetor dB:

dB = [ μ₀ i / (4 π) ] dx r sen α / r³ = [ μ₀ i / (4 π) ] dx sen α / r².

De relações trigonométricas comuns,

r² = x² + R² e sen α = R / r = R / √ (x² + R²). Substituindo na anterior,

dB = [ μ₀ i / (4 π) ] R dx / (x² + R²)^3/2.

Para o cálculo do valor de B, deve-se notar que o sentido de dB é sempre na direção indicada na figura, independente do local do ponto A sobre a reta. Portanto, B é dado pela integração simples

B = ∫_{x=−∞,x=+∞} dB = [ μ₀ i / (4 π) ] ∫_{x=−∞,x=+∞} [R dx / (x² + R²)^3/2].

B = [ μ₀ i / (4 π) ] R [x / R² (x² + R²)^1/2]_{x=−∞,x=+∞}.

O resultado final é B = μ₀ i / (2 π R) #A.1#.

Esse valor é idêntico ao já visto em página anterior para o campo ao longo de uma circunferência com centro em O da figura e raio R. Ou seja, a lei de Ampère para o eletromagnetismo é um caso particular da lei de Biot-Savart, conforme sugere a formulação de ambas.

Campo magnético de uma espira circular

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Neste tópico deseja-se saber o valor do campo magnético em um ponto genérico P, situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante i. Esquema conforme Figura 01.

Da lei de Biot-Savart, dB = [ μ₀ i / (4 π) ] dℓ x r / r³. Desde que dℓ e r são perpendiculares entre si, o módulo do produto vetorial é simplesmente dℓ r. Então o módulo de dB é

Fig 01

dB = [ μ₀ i / (4 π) ] dℓ / r². E o componente axial

dB_A = dB cos α = dB R / r = [ μ₀ i  R / (4 π) ] dℓ / r³.

Notar que, na integração ao longo da espira, cada valor do componente radial dB_R é anulado pelo seu oposto de 180º. Portanto, esses componentes não entram no cálculo de B.

B = ∫ dB_A = [ μ₀ i  R / (4 π) ] (1/r³) ∫ dℓ = [ μ₀ i  R / (4 π) ] (1/r³) 2 π R = μ₀ i  R² / (2 r³).

Mas r = (R² + x²)^1/2. Portanto,

B = μ₀ i  R² / [ 2 (R² + x²)^3/2 ] #A.1#.

No conceito de dipolo magnético visto em página anterior, o módulo do vetor momento de dipolo magnético μ é dado por

μ = N i S, onde N é o número de espiras e S a área transversal.

Neste caso, N = 1 e S = π R². Assim, μ = i π R². E a fórmula anterior pode ser escrita em termos de momento magnético

B = μ₀ μ / [ 2 π (R² + x²)^3/2 ] #B.1#. Onde μ = i π R².