Ação magnética sobre uma corrente elétrica

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Em tópico anterior, foi dada a relação entre a força F resultante da ação de um campo magnético B sobre uma carga elétrica q com velocidade v:

Fig 01

F = q v × B #A.1#.

Na prática, o que se deseja saber é o resultado da ação de um campo magnético sobre uma corrente elétrica.

Seja então o caso mais simples conforme Figura 01: um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i e sob ação de uma indução magnética constante B.

O vetor ℓ representa o condutor, ou seja, tem o seu comprimento e sentido igual ao da corrente percorrida.

Para um comprimento infinitesimal, a força é dF = dq v × B. Mas a velocidade é v = dℓ / dt. Substituindo e reagrupando, dF = (dq / dt) dℓ × B. Mas (dq / dt) é a própria definição da corrente elétrica i. Com a integração para o comprimento total, chega-se a

F = i ℓ × B #B.1#.

Ação magnética sobre uma espira

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Na Figura 01, os lados de uma espira condutora retangular são indicados pelos vetores ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ e ℓ₄, que têm o mesmo sentido da corrente circulante i. A espira pode girar em torno do eixo z e está sob ação de um campo magnético uniforme B na direção indicada.

Segundo igualdade #B.1# do tópico anterior, a força atuante em um lado k é dada por F_k = i ℓ_k × B.

Fig 01

F₂ e F₄ são opostas de mesmo alinhamento e, portanto, anulam-se.

F₁ e F₃ são opostas, mas não têm o mesmo alinhamento. Assim, há um conjugado dado, em módulo, por

τ = F₁ ℓ₂ cos α. Mas F₁ = i ℓ₁ B. Substituindo,

τ = i ℓ₁ ℓ₂ cos α B.

Mas ℓ₁ ℓ₂ = S (área da espira).

Com a substituição da área, chega-se ao resultado τ = i S B cos α #A.1#.

Pode-se demonstrar que a fórmula acima é válida para qualquer formato de espira plana, não apenas o retangular. Essa relação é o princípio básico do funcionamento de máquinas elétricas como motores e de instrumentos como galvanômetros.

Para um caso mais genérico, de uma bobina de N espiras, o torque é multiplicado por esse valor

τ = N i S B cos α #A.2#.

Dipolo magnético

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Considerando a equação do torque do tópico anterior, pode-se concluir que, partindo de uma posição qualquer, a espira gira até a posição de torque nulo, isto é, α = 90°. Nessa condição, o vetor do campo magnético está alinhado com a reta normal à superfície da espira, de forma similar à agulha de uma bússola, que se alinha na direção do campo magnético da Terra.

Fig 01

A relação #A.1# do tópico anterior pode ser escrita

τ = i S B sen β, onde β = 90 + α = ângulo da normal à superfície da espira com o vetor B.

Essa relação sugere um produto vetorial e, portanto, o vetor conjugado pode ser dado por

τ = μ × B #A.1#.

A grandeza vetorial μ é denominada momento de dipolo magnético e, assim, o torque (momento mecânico) é igual ao produto vetorial dela pelo vetor campo magnético.

Do desenvolvimento anterior, deduz-se que o momento de dipolo magnético, para o caso genérico de N espiras, é definido por

μ = N i S #B.1#. Onde

μ: momento de dipolo magnético.
N: número de espiras da bobina.
i: corrente que circula pela bobina.
S: vetor de superfície.

O sentido do vetor μ pode ser facilmente deduzido pela regra da mão direita, considerando o sentido da corrente circulante.

Se feita a integração do torque τ ao longo de um deslocamento angular (operação aqui não demonstrada), chega-se ao resultado (produto escalar):

U = − μ · B #C.1#.

Na relação acima, U é a energia potencial do dipolo, isto é, o trabalho que seria necessário para girá-lo da posição de conjugado nulo até o ângulo do vetor μ.