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Eletricidade I-60
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Potencial elétrico |
Potencial e campo elétrico em uma esfera condutora |
Capacitância |
Potencial elétrico
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No estudo deste conceito será considerado um campo elétrico uniforme de intensidade E, conforme Figura 01 abaixo. Pode ser um campo genérico, mas o desenvolvimento matemático é mais complexo.
Sejam os pontos a e b da figura e uma carga positiva q. A diferença de potencial elétrico V entre esses pontos é dada pela razão entre o trabalho necessário para deslocar a carga q de a até b e essa carga:
A unidade de V, que em termos de outras do Sistema Internacional seria joule por coulomb (J/C), é denominada volt (V).
É usual considerar Va um potencial de referência e de valor nulo (em muitos casos a superfície da Terra é essa referência). Assim, a diferença de potencial fica dada por:
Fig 01
Considerando força F e deslocamento X na mesma direção, o trabalho é igual ao produto dos seus módulos:
Wab = F (Xb − Xa) #B.1#
Conforme definição de campo elétrico (E), a força em uma carga q é dada por:
F = − q E #B.2#
O sinal negativo indica que a força F tem direção oposta à do campo E, conforme pode ser visto na figura. E, combinando as igualdades anteriores com #A.1#, chega-se a
Vb − Va = − q E (Xb − Xa) / q.
Simplificando e usando a notação de intervalo,
Por essa relação, deduz-se que, no lugar de newton por coulomb (N/C), a unidade de campo elétrico pode ser volt por metro (V/m), que é a preferida na prática.
Da igualdade #C.1#, verifica-se também que, devido ao sinal negativo, o vetor campo elétrico aponta na direção em que o potencial elétrico diminui.
O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas é possível demonstrar que, no caso de campo uniforme, o trabalho para deslocar a carga de a até b é igual ao trabalho para deslocar de a até b'. Generalizando esse fato e considerando o campo no espaço, conclui-se que superfícies de mesmo potencial ou superfícies equipotenciais são planos perpendiculares à direção do campo, no caso de campo elétrico uniforme.
Fig 02
Para campos elétricos não uniformes, a determinação de superfícies equipotenciais exige em geral procedimentos matemáticos mais complexos.
No caso particular do campo de uma carga puntiforme, a simetria sugere que são superfícies esféricas concêntricas conforme indicado em corte na Figura 02 deste tópico.
Vale lembrar que, em qualquer caso, superfícies equipotenciais e linhas de forças são ortogonais entre si.
Voltando ao caso da carga puntiforme segundo Figura 02, é possível demonstrar que o potencial de uma superfície equipotencial de raio r é dado por:
Essa relação também vale para a região externa de uma esfera com cargas elétricas uniformemente distribuídas.
Potencial e campo elétrico em uma esfera condutora
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A parte superior da Figura 01 deste tópico indica o corte de uma esfera condutora de raio R, supostamente carregada com uma carga positiva q. Deseja-se saber a variação do potencial e do campo elétrico em função da distância r ao centro da esfera.
Fig 01
O potencial elétrico para r ≥ R é dado pela fórmula do tópico anterior:
Desde que a esfera é condutora, não pode haver diferença de potencial no corpo. Assim, para r < R, ele é constante e igual ao potencial da superfície:
| V = |
1 |
|
q |
(= constante) |
#A.2# |
| 4 π ε0 |
R |
Para r ≥ R, o campo elétrico é dado pela lei de Gauss, vista em página anterior:
De acordo com #C.1# do tópico anterior, o campo elétrico no interior da esfera deve ser nulo porque o potencial elétrico é constante.
Capacitância
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Sejam duas esferas de raio r, com cargas elétricas de mesmo valor q, mas opostas e distantes D uma da outra. A distância D é suficientemente grande para se considerar desprezível a interação elétrica entre elas (Figura 01). Nessas condições, o potencial elétrico das esferas superior e inferior é dado pelas relações a seguir.
| +V' = + |
1 |
|
q |
|
#1.1# |
| 4 π ε0 |
r |
| −V' = − |
1 |
|
q |
|
#1.2# |
| 4 π ε0 |
r |
Calculando a diferença de potencial,
| (+V') − (−V') = V'' = |
1 |
|
q |
|
#2.1# |
| 2 π ε0 |
r |
Portanto,
q = (2 π ε0 r) V'' = C' V'' #2.2#
A constante C' é denominada capacidade ou capacitância do conjunto das esferas.
Fig 01
Se as esferas são aproximadas para uma distância d na qual seja considerável a interação dos seus respectivos campos elétricos, as igualdades anteriores não são mais válidas, mas observa-se que a diferença de potencial entre elas diminui e, portanto, a capacitância aumenta.
De forma genérica, a capacitância C é definida pela relação básica
Ou seja, é a relação entre a carga elétrica armazenada e a diferença de potencial.
A propriedade de armazenar uma grande quantidade de carga elétrica, desde que os corpos condutores sejam separados por uma pequena distância, é amplamente aplicada nos componentes elétricos denominados capacitores.
Na prática, não são usadas esferas, mas sim lâminas separadas por um isolante, que pode ser o próprio ar em alguns casos.
A unidade de capacitância, coulomb por volt no Sistema Internacional, é denominada farad (F) em homenagem a Michael Faraday, pioneiro no estudo desse fenômeno. Entretanto, ela é muito grande para a maioria das aplicações práticas e os submúltiplos (µF, nF, pF) são bastante empregados.
Topo | Última revisão ou atualização: Out/2009
