Exemplo de análise: ponte resistiva

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Fig 01

Seja o circuito de ponte de resistores conforme Figura 01 ao lado.

Deseja-se saber a resistência equivalente entre os terminais a e b.

Deve-se notar que essa resistência equivalente não pode, para este caso, ser calculada através de fórmulas de associações de resistores.

A seguir, são demonstrados os cálculos através dos métodos já vistos de análise de nós e de malhas.

Fig 02

Na Figura 02, o circuito anterior é redesenhado para uma disposição mais clara.

A fonte v_s mantém essa tensão entre os terminais, de forma que, considerando um deles referência, os nós de tensão desconhecida são v₁ e v₂.

No quadro abaixo (#A.1#), o sistema de equações lineares, conforme modelo visto em página anterior, para análise nodal desse circuito.

1/2+1/8+1/4 −1/4 −1/4 1/3+1/12+1/4  ×  v1 v2  =  vs/2 vs/3

#A.1#

A solução de #A.1# é v₁ = v₂ = (4/5) v_s. E a corrente i é calculada por

i = v₁/8 + v₂/12. Substituindo, i = (25/150) v_s. E a resistência R_ab = v_s/i = 150/25 = 6 Ω.

Fig 03

A Figura 03 apresenta o circuito da ponte para análise por malhas. Neste caso, há uma fonte de corrente i_s, que forma a malha de corrente definida i_m3 = i_s. As malhas a calcular são i_m1 e i_m2 conforme indicado.

A malha i_m3 produz quedas de tensão em R₁ e em R₄, que são consideradas na matriz de fontes de tensão no sistema de equações #B.1#.

2+3+4 −4 −4 12+8+4  ×  im1 im2  =  2 is 8 is

#B.1#

A solução de #B.1# é i_m1 = i_m2 = (2/5) i_s. Assim, a tensão entre a e b é v_ab = 3 i_m1 + 12 i_m2 = 6 i_s. Ou R_ab = 6 Ω.

A igualdade com o resultado anterior era era naturalmente esperada.

Ponte de Wheatstone

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O circuito do tópico anterior foi inventado por Samuel Christie, cientista inglês, em 1833. Foi aprimorado em 1843 por outro cientista inglês, Charles Wheatstone. Por isso, ficou conhecida com o nome deste último.

A função original do circuito, que permanece até hoje, é a medição de grandezas elétricas.

Fig 01

No circuito da Figura 01, a ponte, alimentada com uma tensão v_s, tem os resistores de valores conhecidos R₁ e R₂. R₄ é também conhecido, mas é ajustável com uma escala, de forma que seu valor pode ser lido com precisão. R_x é o resistor cuja resistência se deseja determinar.

O voltímetro V (resistência interna R_m) indica a tensão entre os nós v₁ e v₂. O resistor R₄ é ajustado até essa tensão se tornar nula, ou seja, v₁ = v₂.

Se a diferença de potencial entre v₁ e v₂ é nula, a corrente através de R_m também é nula. Assim, na análise de malhas (#B.1# do tópico anterior), deve-se ter i_m1 = i_m2 = i_m.

R1+R2+Rm −Rm −Rm Rx+R4+Rm  ×  im im  =  R1 is R4 is

#A.1#

O sistema de equações #A.1# deste tópico é o #B.1# do tópico anterior com a substituição dos valores numéricos por símbolos e a igualdade de correntes acima.

Isolando i_m das duas equações,

i_m = R₁ i_s / (R₁ + R₂) e i_m = R₄ i_s / (R_x + R₄). Igualando, R₁ / (R₁ + R₂) = R₄ / (R_x + R₄).

Após simplificação, o resultado é R₁ R_x = R₂ R₄ #B.1#.

Isso significa que, na condição de tensão nula entre v₁ e v₂, o valor de R_x só depende dos valores dos demais resistores e pode ser facilmente calculado se eles são conhecidos.

A medição com ponte de Wheatstone pode apresentar elevada precisão, uma vez que o processo é comparativo, não depende da precisão do voltímetro V, que basicamente deve ter sensibilidade adequada para a indicação de zero. Com uso de tensões alternadas, grandezas como capacitância, indutância e impedância podem ser medidas.