Análise de circuitos por malhas - Introdução

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Este é um outro método sistemático para análise de circuitos resistivos, similar à análise de nós das páginas anteriores. A diferença é sugerida pelo nome: usa a lei das tensões de Kirchhoff no lugar da lei das correntes.

Fig 01

O procedimento só é aplicavél a circuitos planares.

A Figura 01 mostra um exemplo. Em (a), há um cruzamento sem interligação, indicado por (*). Esse circuito é planar porque ele pode ser redesenhado no plano, como em (b) da figura, de forma a eliminar cruzamentos sem interligação. Caso contrário, o circuito não é planar e não pode ser resolvido por malhas.

Todo circuito elétrico deve ter pelo menos um laço ou caminho fechado, sem o qual não pode haver corrente circulante.

Fig 02

Para estudo inicial do método, será usado o circuito de exemplo da Figura 02, que é o mesmo empregado no método nodal anterior.

Nesse circuito, é possível identificar três caminhos fechados conforme indicação das linhas tracejadas.

Uma malha é considerada um laço que não contém outros. Portanto, no circuito em estudo, apenas m₁ e m₂ são de interesse.

Uma vez identificadas as malhas de cálculo, o passo seguinte é a indicação de correntes para cada malha.

Fig 03

Segundo a Figura 03, as malhas m₁ e m₂ têm supostamente as correntes i_m1 e i_m2.

É também suposto que as correntes circulam as malhas no sentido horário. Essa convenção é arbitrária, mas, se assim mantida, proporciona uniformidade e facilita a compreensão do método (se o resultado for negativo, o sentido real é oposto).

Agora, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) para cada malha, observadas as convenções de sinais para elementos passivos e ativos. É importante notar que, nos ramos comuns a duas malhas, as correntes são dadas pela soma algébrica das correntes de cada malha.

Malha m₁: −v_s1 + R₁ i_m1 + R₂ (i_m1 −i_m2) = 0.

Malha m₂: R₂ (i_m2 −i_m1) + R₃ i_m2 + R₄ i_m2 = 0.

R1+R2 −R2 −R2 R2+R3+R4  ×  im1 im2  =  vs1 0

#A.1#

As igualdades anteriores formam um sistema de equações lineares de duas incógnitas, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #A.1#.

Fig 04

Uma vez resolvido esse sistema de equações, as correntes do circuito são facilmente determinadas (ver Figura 04):

i₁ = i_m1.
i₂ = i_m1 − i_m2.
i₃ = i_m2.

De forma similar à do método de análise nodal, o sistema de equações lineares pode ser generalizado para N malhas.

R11 −R12 … −R1N −R21 R22 … −R2N : : : −RN1 −RN2 … RNN  ×  im11 im21 : imN1  =  vs11 vs21 : vsN1

#C.1#

[R] [i_m] = [v_s] #B.1#. Onde:

[R]: matriz de resistências. Conforme #C.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que:

R_ii = soma das resistências na malha i.


R_ij = soma das resistências comuns às malhas i e j.

[i_m]: matriz das correntes. De coluna N×1 tal que i_mi1 = corrente da malha i.

[v_s]: matriz de tensões. De coluna N×1 tal que v_si1 = soma das fontes de tensão na malha i (positivo se corrente da fonte no mesmo sentido da corrente da malha).