Análise nodal de circuitos - Alguns exemplos

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Este tópico apresenta circuitos que demandam alguma dificuldade de análise em relação ao exemplo simples do tópico introdutório da página anterior.

Fig 01

Circuito com fonte de corrente

No exemplo da Figura 01, os dois nós inferiores equivalem eletricamente a um único, que foi escolhido para referência.

A fonte de corrente i_s1 é naturalmente considerada na matriz de fontes de corrente conforme visto na página anterior.

Lembrar que, no conjunto #A.1#, Gs são condutâncias (inversos) das resistências do circuito.

A contribuição da fonte de tensão v_s1 é dada pelo termo v_s1/R₁, ou seja, a conversão em fonte de corrente, conforme mencionado na mesma página.

No caso da fonte de corrente i_s1, ela está conectada a dois nós desconhecidos v₁ e v₃. Portanto, sua parcela é positiva em v₁ (corrente entrando, i_s1) e negativa em v₃ (corrente saindo, −i_s1).

G1+G2+G4 −G2 0 −G2 G2+G3+G5 −G3 0 −G3 G3+G6  ×  v1 v2 v3  =  is1 + vs1/R1 0 −is1

#A.1#

Fig 02

No exemplo da Figura 02, o nó n₃ é claramente o mais favorável para servir de referência.

As fontes de tensão v_s1 e v_s2 contribuem com as correntes equivalentes 30/6 e 50/5 respectivamente nos nós v₁ e v₂.

A fonte de corrente i_s1 atua nesses nós com sinais opostos, de forma similar ao exemplo anterior.

O resultado de #B.1# abaixo é v₁ = 30 V e v₂ = 40 V.

1/6 + 1/10 + 1/15 −1/10 −1/10 1/10 + 1/5  ×  v1 v2  =  1 + 30/6 −1 + 50/5

#B.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante em série com resistência

Fig 03

No circuito de exemplo da Figura 03, qualquer seja o nó de referência escolhido, haverá pelo menos uma fonte de tensão não conectada a ele. Fontes de tensão nessa condição são denominadas flutuantes e, evidentemente, precisam ser consideradas no modelo do sistema de equações lineares.

No mesmo circuito, o nó n₄ é o mais conveniente para referência, por ser comum a duas fontes de tensão. Resta, portanto, a fonte flutuante v_s1.

Fig 03A

Se a fonte flutuante tem uma resistência em série, o melhor caminho é convertê-la em uma fonte de corrente equivalente em paralelo com essa resistência. Assim, o circuito enquadra-se no tipo dos anteriores e pode ser facilmente resolvido.

Na Figura 03A, o circuito é redesenhado com a conversão de v_s1 para i_vs1 = 48 / 6000 = 0,008 A ou 8 mA.

No sistema de equações #C.1#, os valores em kΩ do circuito estão diretamente considerados, sem multiplicadores. Desde que estão em ambos os lados, os resultados não são afetados.

É importante notar que, no circuito equivalente da Figura 03A, a fonte v_s2 atua via R₁ em v₁ e via R₃ em v₂, conforme pode ser visto na matriz de correntes.

O resultado do sistema de equações #C.1# abaixo é v₁ = 6 V e v₂ = 0 V.

1/6 + 1/1 + 1/3 −1/1 −1/1 1/4 + 1/2 + 1/1  ×  v1 v2  =  8 − 24/6 + 15/3 −24/4

#C.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante sem resistência em série

Fig 04

No circuito de exemplo da Figura 04, se escolhido n₄ como referência, a fonte de tensão fica flutuante, mas não há uma resistência em série conectada somente com ela conforme exemplo anterior.

Neste caso, a fonte pode ser considerada um único nó, denominado supernó.

Fig 04A

A Figura 04A reproduz o circuito, com a indicação do supernó v₁, formado pelos nós n₁ e n₅ da figura anterior.

Observar, no sistema de equações #D.1# abaixo, algumas particularidades para o caso:

• as condutâncias entre v₁ e v₂ são dadas por R₁ e R₃. Assim, o termo −(1/10 + 1/2) está presente na matriz das condutâncias.

• a fonte v_s1 em conjunto com R₃ atua como uma fonte de corrente entre v₁ e v₂. Portanto, os termos +30/2 e −30/2 estão na matriz das correntes (lado direito).

O resultado do sistema de equações #D.1# é v₁ = 40 V e v₂ = 10 V.

1/10 + 1/5 + 1/2 −(1/10 + 1/2) −(1/10 + 1/2) 1/10 + 1/1 + 1/2  ×  v1 v2  =  1 + 50/5 + 30/2 7 − 30/2

#D.1#