Análise nodal de circuitos - Introdução

Topo | Fim

A análise nodal é um meio sistemático para a solução de circuitos resistivos com fundamento na lei das correntes de Kirchhoff.

Fig 01

O circuito simples da Figura 01 pode ser resolvido com auxílio das fórmulas já vistas para associação de resistores, mas aqui será usado para estudo do método.


O primeiro passo é identificar todos os nós do circuito, que são os pontos de conexão de dois ou mais elementos.

Fig 02

Na praxe dos diagramas, nós de dois elementos não são destacados. A Figura 02 mostra todos eles.

A próxima etapa é a escolha de um nó de referência, que será considerado de potencial nulo, como se fosse ligado à terra.

O nó de referência deve ter o maior número de elementos conectados e, principalmente, o maior número de fontes independentes de tensão.

Todas as tensões serão consideradas relativas ao nó de referência. No circuito em questão, o nó n₄ é a escolha natural para a referência conforme indicado na Figura 02.

O problema é resolvido se as tensões nos nós são conhecidas. O nó n₄ tem tensão nula por ser referência. O nó n₁, por ser de uma fonte de tensão conectada à referência, tem a própria tensão da fonte. Restam então os nós n₂ e n₃, de tensões desconhecidas v₂ e v₃, destacados com (*) na Figura 03.

O raciocínio acima permite deduzir que, de forma genérica, o número de nós de tensão desconhecida é n − 1 − m, onde n é o número total e m é o número de fontes de tensão independentes conectadas ao nó de referência.

Fig 03

Uma vez identificados os nós de tensão desconhecida, o próximo passo é indicar as correntes entre nós, lembrando que os seus sentidos e os lados de maior (+) e de menor (−) potencial devem estar de acordo com a convenção já vista para elementos passivos e ativos. Ver Figura 03.

Para facilitar a formulação das equações, é usada condutância no lugar de resistência. Assim,

G₁ = 1/R₁, G₂ = 1/R₂, etc.

As correntes indicadas podem ser calculadas em função de diferenças de tensões e condutâncias.

i1 = G1 (vs1 − v2)

i2 = G2 v2

i3 = G3 (v2 − v3)

i3 = G4 v3

A lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₂ implica

i₁ = i₂ + i₃. Substituindo, G₁ (v_s1 − v₂) = G₂ v₂ + G₃ (v₂ − v₃). Ou, reagrupando,

G₁ v₂ + G₂ v₂ + G₃ v₂ − G₃ v₃ = G₁ v_s1. Simplificando, (G₁ + G₂ + G₃) v₂ − G₃ v₃ = G₁ v_s1 #A.1#.

Aplica-se agora a LCK no nó n₃:

i₃ = i₃. Ou G₃ (v₂ − v₃) = G₄ v₃. Reagrupando, − G₃ v₂ + (G₃ + G₄) v₃ = 0 #A.2#.

G1+G2+G3 −G3 −G3 G3+G4  ×  v2 v3  =  G1 vs1 0

#B.1#

As igualdades #A.1# e #A.2# formam um sistema de equações lineares, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #B.1# ao lado.


Desde que as condutâncias G₁ a G₄ e a tensão v_s1 são supostamente conhecidas, o sistema pode ser resolvido e a sua solução, v₂ e v₃, é a solução do circuito.

Fig 04

O primeiro elemento da matriz direita de #B.1# é igual a

v_s1 / R₁.

No circuito, a fonte v_s1 está em série com R₁. Segundo a conversão já vista de fontes, isso equivale a uma fonte de corrente v_s1 / R₁ em paralelo com uma resistência R₁.

Então, o circuito é equivalente ao apresentado na Figura 04 ao lado.

Pode-se dizer, portanto, que os elementos da matriz de coluna da direita são as fontes de corrente que entram no nó. O valor é nulo no segundo elemento porque não há fonte para o nó n₃ do circuito em estudo.

G11 −G12 … −G1N −G21 G22 … −G2N : : : −GN1 −GN2 … GNN  ×  v11 v21 : vN1  =  is11 is21 : isN1

#D.1#

O sistema anterior pode então ser generalizado para o caso de N nós de tensão desconhecida:

[G] [v] = [i_s] #C.1#. Onde:

[G]: matriz de condutância. Conforme #D.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que

G_ii = soma das condutâncias conectadas ao nó i.

G_ij = soma das condutâncias entre os nós i e j.

[v]: matriz das tensões. De coluna N×1 tal que v_i1 = tensão no nó i.

[i_s]: matriz de correntes. De coluna N×1 tal que i_si1 = soma das fontes de corrente que entram no nó i.