Teorema de Thévenin e teorema de Norton

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Seja um circuito genérico X de dois terminais de saída, representado por um retângulo em (a) e em (b) da Figura 01. Esse circuito é supostamente formado por fontes independentes (pelo menos uma), fontes dependentes e resistores.

Fig 01

A tensão de circuito aberto entre terminais, v_ca, é indicada em (a) da figura.

A corrente de curto-circuito entre terminais, i_cc, é indicada em (b) da figura.

A resistência de Thévenin desse circuito é dada pela relação entre ambas

R_th = v_ca / i_cc #A.1#.

O teorema de Thévenin afirma que esse circuito é equivalente a uma fonte de tensão v_ca em série com uma resistência R_th, conforme (c) da figura.

O teorema de Norton estabelece que o circuito é equivalente a uma fonte de corrente i_cc em paralelo com uma resistência R_th, conforme (d) da figura.

As seguintes relações podem ser facilmente deduzidas.

• na equivalência de Thévenin, se a carga drena uma corrente i, a tensão é dada por

v = v_ca − R_th i #B.1#.

• na equivalência de Norton, se a carga fixa uma tensão v, a corrente é dada por

i = i_cc − v / R_th #B.2#.

Fig 02

Os teoremas anteriores podem ser aplicados na solução de alguns problemas de circuitos, que envolvem parâmetros entre dois terminais.

Em muitos casos, é bastante útil a conversão de fontes conforme ilustrado na Figura 02.

A equivalência dos circuitos pode ser facilmente deduzida com os teoremas anteriores e pode ser assim resumida:

• uma fonte de tensão v em série com uma resistência R equivale a uma fonte de corrente i = v/R em paralelo com uma resistência R.

• uma fonte de corrente i em paralelo com uma resistência R equivale a uma fonte de tensão v = R i em série com uma resistência R.

No exemplo da Figura 03 (a), uma fonte de tensão v_s alimenta uma resistência de carga R_L via divisor de tensão formado por R₁ e R₂. Dados esses parâmetros, deseja-se saber a tensão e corrente na carga, v_RL e i_RL.

Notar que a fórmula vista em página anterior para divisor de tensão não considera corrente de carga. Assim, quando se aplica uma resistência real R_L, a tensão é menor que a calculada pela fórmula mencionada.

Fig 03

Para a solução com o teorema de Thévenin, consideram-se terminais na resistência R_L. Assim, a parte (b) da figura mostra a tensão de circuito aberto, que é calculada pela fórmula do divisor de tensão porque não há corrente:

v_ca = v_s R₁ / (R₁ + R₂).

A corrente de curto-circuito é vista em (c) da figura:

i_cc = v_s / R₂.

E a resistência de Thévenin é dada por:

R_th = v_ca / i_cc = R₁ R₂ / (R₁ + R₂).


A parte (d) da mesma figura mostra o equivalente de Thévenin para o circuito. E a corrente da carga é calculada por:

(R_th + R_L) i_RL = v_ca. Substituindo os valores anteriores,

[ R₁ R₂ / (R₁ + R₂) + R_L ] i_RL = v_s R₁ / (R₁ + R₂). Portanto, a corrente i_RL é calculada a partir dos parâmetros supostamente conhecidos e a tensão é v_RL = R_L i_RL.


Para o exemplo da Figura 04, pede-se determinar os parâmetros de Thévenin em função da tensão v_s1, da fonte S₁.

Considerando-se os terminais 1 e 2 abertos, a corrente em R₁ é calculada com uso da LTK (lei das tensões de Kirchhoff) no laço S₁, R₁ e R₂:

− v_s1 + 200 i_R1 + v_R2 = 0. Portanto, i_R1 = (v_s1 − v_R2) / 200.

A corrente em R₂ é i_R2 = v_R2 / 2000.

A corrente em R₃ é calculada com o uso da LTK no laço limitado pelos nós n₁, n₂, n₃ e n₄:

Fig 04

− v_R2 + 1900 i_R3 + 100 i_R3 − 98 v_R2 = 0.

Portanto, i_R3 = 99 v_R2 / 2000.

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₁ implica

i_R1 = i_R2 + i_R3. Substituindo,

(v_s1 − v_R2) / 200 = v_R2 / 2000 + 99 v_R2 / 2000. Assim, v_R2 = v_s1 / 11.

E a tensão de circuito aberto é a soma da queda de tensão em R₄ com a tensão de S₂. Desde que não há corrente entre 1 e 2, a corrente em R₄ é igual à corrente em R₃:

v_ca = 100 i_R3 − 98 v_R2 = 100 99 v_R2 / 2000 − 98 v_R2.

v_ca = − 93,05 v_R2 = − 93,05 v_s1 / 11 ≈ − 8,46 v_s1.

A Figura 04A (a) mostra a situação com os terminais 1 e 2 em curto-circuito. A corrente em R₁ tem a mesma expressão anterior:

Fig 04A

i_R1 = (v_s1 − v_R2) / 200.

A corrente em R₂ é também i_R2 = v_R2 / 2000.

A tensão em R₃ é a mesma de R₂, ou seja, v_R2. Portanto, a corrente é

i_R3 = v_R2 / 1900.

De forma similar à situação anterior, a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₁ resulta em

i_R1 = i_R2 + i_R3. Substituindo os valores anteriores,


(v_s1 − v_R2) / 200 = v_R2 / 2000 + v_R2 / 1900. Resolvendo, v_R2 = 190 v_s1 / 229.

A corrente em R₄ é obtida pela LTK no laço n₂, 1, 2 e n₃:

100 i_R4 − 98 v_R2 = 0 ou i_R4 = 98 v_R2 / 100.

Aplica-se agora a LCK no nó n₂: i_R3 = i_R4 + i_cc. Substituindo, v_R2 / 1900 = 98 v_R2 / 100 + i_cc.

Resolvendo, i_cc ≈ − 0,98 v_R2. Substituindo o valor de v_R2, obtém-se i_cc ≈ − 0,98 190 v_s1 / 229 = − 0,813 v_s1.

Portanto, o circuito é equivalente a (b) da Figura 04A, com v_ca ≈ − 8,46 v_s1 e

R_th = v_ca / i_cc = − 8,46 v_s1 / (− 0,813 v_s1) ≈ 10,4 Ω.