Conversão Delta-Y e Y-Delta

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No lado esquerdo da Figura 01, três resistores estão ligados em Δ (ou triângulo). Deseja-se saber os valores para a configuração Y (ou estrela) equivalente.

Fig 01

Então, a resistência entre os pontos A e B deve ser igual à resistência entre a e b:

R_AB || (R_BC + R_CA) = R_a + R_b. E, de forma similar para os demais pares de pontos,

R_BC || (R_AB + R_CA) = R_b + R_c.

R_CA || (R_AB + R_BC) = R_c + R_a.

Expandindo as igualdades anteriores e resolvendo o sistema de equações, o resultado é

R_a = R_AB R_CA / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.1#.

R_b = R_AB R_BC / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.2#.

R_c = R_BC R_CA / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.3#.

Fig 02

Na transformação inversa, isto é, Y-Delta conforme Figura 02, procedimento similar pode ser usado, chegando-se ao resultado:

R_AB = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_c #B.1#.

R_BC = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_a #B.1#.

R_CA = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_b #B.1#.


Essas conversões podem ser bastante úteis para a solução de alguns problemas de análise de circuitos.

Fontes: associações e condições reais

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Fontes de tensão ou de corrente podem ser associadas para formar conjuntos de maior capacidade, mas há restrições que devem ser observadas.

Fig 01

Fontes de tensão em série resultam numa fonte com tensão igual à soma das tensões individuais. No exemplo da Figura 01, a associação (a) é equivalente à fonte (b) com

v = v₁ − v₂ + v₃.

Notar que a soma deve ser algébrica, ou seja, uma fonte em oposição (2 no exemplo) reduz a tensão total.

Associações em série de fontes de tensão são comuns na prática. Baterias são geralmente formadas por células individuais ligadas em série.

A ligação em paralelo de fontes de tensão só é viável se elas forem iguais. Se fontes diferentes forem associadas em paralelo, haverá correntes entre elas e os danos serão inevitáveis.

Fig 02

Fontes de corrente podem ser associadas em paralelo. No exemplo da Figura 02, o conjunto paralelo (a) equivale a uma fonte (b) com

i = i₁ − i₂ + i₃.

De forma similar à fonte de tensão, o elemento invertido reduz a corrente do conjunto.

A ligação em série de fontes de corrente tem restrições semelhantes à ligação em paralelo de fontes de tensão. Só pode ser feita com elementos idênticos.

Fig 03

Fontes reais de tensão e de corrente

Em primeira aproximação (na realidade, há mais diferenças), uma fonte de tensão real pode ser considerada uma fonte ideal de tensão v_s em série com uma resistência R_s, denominada resistência interna da fonte. Ver (a) da Figura 03.

Assim, se o circuito a alimentar tem uma resistência equivalente R_L, a tensão v é dada por

v = v_s − R_s i. Portanto, a tensão diminui com o aumento da corrente.

O gráfico de (b) da mesma figura mostra curvas típicas para as situações descritas:

(1) fonte ideal: tensão constante, independente da corrente.
(2) aproximação para fonte real conforme relação anterior: variação linear da tensão.
(3) possível característica para uma fonte real: variação não linear.

Notar que uma fonte de tensão ideal teria resistência interna nula. Assim, uma fonte de tensão real deve ter a menor resistência interna possível.

De forma similar, uma fonte de corrente real pode ser considerada aproximadamente igual a uma ideal com uma resistência em paralelo conforme (c) da Figura 03. Então, a corrente na carga é dada por

i = i_s − v / R_s. Ou seja, a corrente diminui com o aumento da tensão.

O gráfico em (d) da figura exibe curvas similares às anteriores, com as devidas adaptações para correntes.

Uma fonte de corrente ideal teria resistência interna infinita e, portanto, uma fonte real deve ter a maior resistência possível.

Fig 04

Fontes de correntes práticas são mais difíceis de implementar, mas uma aproximação simples é possível. O circuito da Figura 04 é o anterior para a fonte de tensão. Na relação também vista

v = v_s − R_s i, pode-se substituir v por R_L i. E o resultado após simplificação é:

i = v_s / (R_s + R_L). Fazendo k = R_L / R_s e substituindo, i = v_s / [ R_s (1 + k) ].

Assim, se a resistência interna da fonte é muito grande em relação à da carga (R_s >> R_L), tem-se k ≈ 0 e a corrente é dada por

i ≈ v_s / R_L, ou seja, é aproximadamente constante, simulando uma fonte de corrente. Entretanto, a aplicação prática é limitada devido à perda de potência no resistor e à necessidade de tensões altas de v_s para operar com circuitos usuais.