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Potência em sistemas trifásicos |
Topo | Fim |
Seja um circuito monofásico com tensão e corrente dadas por:
v(t) = Vp cos (ωt) #A.1#.
i(t) = Ip cos (ωt + θ) #A.2#.
Sejam os valores eficazes:
V = Vp / √2 #B.1#.
I = Ip / √2 #B.2#.
Substituindo,
v(t) = √2 V cos (ωt) #C.1#.
i(t) = √2 I cos (ωt + θ) #C.2#.
A potência instantânea é calculada por:
P(t) = i(t) v(t) = 2 V I cos (ωt) cos (ωt + θ) #D.1#.
Aplicando a identidade trigonométrica cos a cos b = (1/2) cos(a − b) + (1/2) cos(a + b),
P(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ) #E.1#.
Considera-se agora um sistema trifásico equilibrado. As tensões de fase são:
| Va = V /_ 0° | Vb = V /_ −120° | Vc = V /_ 120° | #F.1# |
Na forma trigonométrica,
| va(t) = Vp cos(ωt + 0) | vb(t) = Vp cos(ωt − 120) | vc(t) = Vp cos(ωt + 120) | #F.2# |
Desde que o circuito é equilibrado, a mesma impedância Z está em cada fase. Assim, deve ser considerado o mesmo ângulo θ para as correntes:
| ia(t) = Ip cos(ωt + 0 + θ) | ib(t) = Ip cos(ωt − 120 + θ) | ic(t) = Ip cos(ωt + 120 + θ) | #F.2# |
Considerando as igualdades #A.1# e #A.2#, pode-se calcular a potência instantânea P(t) para cada fase segundo #E.1#. Notar que o termo (ωt) equivale a:
(ωt + 0) para fase a.
(ωt − 120) para fase b.
(ωt + 120) para fase c.
Pa(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ).
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt − 240 + θ).
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + 240 + θ).
A potência instantânea total é a soma das parcelas acima:
P(t) = 3 V I cos θ + V I [ cos(2ωt + θ) + cos(2ωt − 240 + θ) + cos(2ωt + 240 + θ) ] #G.1#.
Para a expressão entre colchetes, faz-se α = 2ωt + θ. Assim, ela é igual a
cos(α) + cos(α − 240) + cos(α + 240).
Segundo relações trigonométricas,
cos(α − 240) = cos α cos 240 + sen α sen 240.
cos(α + 240) = cos α cos 240 − sen α sen 240.
Substituindo, cos(α) + cos α cos 240 + sen α sen 240 + cos α cos 240 − sen α sen 240 =
= cos(α) + 2 cos α cos 240 = cos(α) + 2 cos α (−0,5) = 0.
Portanto, a igualdade #G.1# fica reduzida a
P(t) = 3 V I cos θ #H.1#.
Conclui-se então que, no sistema trifásico simétrico e equilibrado, a potência instantânea é constante, não depende do tempo.
A tabela abaixo é repetição da anterior (#F.1#) com introdução da notação exponencial.
| Va = V /_ 0° | Vb = V /_ −120° | Vc = V /_ 120° | #I.1# |
| Va = V ej(0) | Vb = V ej(−120) | Vc = V ej(120) | #I.2# |
Para as correntes, o procedimento é similar, devendo ser considerado o ângulo θ de defasagem. Há também uma linha para o complemento complexo.
| Ia = I /_ 0° + θ | Ib = I /_ −120° + θ | Ic = I /_ 120° + θ | #J.1# |
| Ia = I ej(0 + θ) | Ib = I ej(−120 + θ) | Ic = I ej(120 + θ) | #J.2# |
| Ia* = I ej(0 − θ) | Ib* = I ej(120 − θ) | Ic* = I ej(−120 − θ) | #J.3# |
A potência complexa de um circuito CA é S = V I*. Para as três fases, usando os valores das tabelas acima, o resultado da soma é
S = Sa + Sb + Sc = 3 V I ejφ.
Obs: φ = 0 − θ (diferença de fase entre tensão e corrente).
Portanto, a potência aparente de um sistema trifásico é
S = 3 V I #K.1#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de fase.
Entretanto, medições práticas são feitas em geral para tensões e correntes de linha. Para a ligação Y, já visto que a corrente de linha é igual à de fase e que a tensão de linha é igual à de fase multiplicada por √3. Para a ligação Δ, a tensão de linha é igual à de fase e a corrente de linha é igual à de fase multiplicada por √3.
Então, se considerados parâmetros de linha para #K.1#, haverá sempre uma divisão por √3 para ambas as situações. E a potência aparente fica
S = √3 V I #K.2#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de linha.
Consideram-se as relações da potência complexa,
S = V I* = V I cos φ + j V I sen φ = P + j Q. Onde P é potência ativa e Q é potência reativa.
Combinando com #K.2#, obtém-se, conforme tabela abaixo, as fórmulas de potência para circuitos trifásicos.
| Potência aparente | Potência ativa | Potência reativa | |
| S = √3 V I | P = √3 V I cos φ | Q = √3 V I sen φ | #L.1# |
Para circuito simétrico e equilibrado. Onde V e I são valores eficazes de tensão e corrente de linha. O ângulo φ é a diferença de fase entre tensão e corrente. Portanto, cos φ é o fator de potência.
Exemplo: uma rede trifásica simétrica de tensão de linha 173 V (valor eficaz) alimenta uma carga trifásica em Y com impedância 10 Ω /_ 20° por fase. Determinar os valores de potência conforme tabela acima.
Tensão de fase = 173 / √3 ≈ 100 V.
Corrente de fase = 100 / 10 = 10 A = corrente de linha.
Fator de potência cos φ = cos 20° ≈ 0,94. E sen φ ≈ 0,34.
Potência aparente S = √3 173 10 ≈ 3 kVA.
Potência ativa P = √3 173 10 0,94 ≈ 2,82 kW.
Potência reativa Q = √3 173 10 0,34 ≈ 1,02 kVAR.
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