Circuito RLC série - Fator de qualidade e largura de banda

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No tópico anterior, foi desenvolvida a fórmula da freqüência ressonância de um circuito RLC série:

f₀ = 1 / [ 2 π √ (LC) ] #A.1#.

No trabalho com fórmulas, elas ficam mais simples com o uso da velocidade angular de ressonância em vez de freqüência:

Fig 01

ω₀ = 1 / √ LC #A.2#.

Por isso, aqui é adotado esse parâmetro, lembrando que a relação com a freqüência é a simples proporção

ω₀ = 2 π f₀.

Nota-se que o valor da velocidade angular de ressonância não depende da resistência R. Mas isso não significa que outras características do circuito sejam desconexas do valor de R.

O fator de qualidade Q de um circuito RLC série é a relação entre a reatância indutiva de ressonância e o valor da resistência:

Q = X_L0 / R = ω₀ L / R = (1/R) √ (L/C) #B.1#.

A Figura 01 mostra curvas da variação da intensidade de corrente com a freqüência nas proximidades da ressonância para valores de R distintos (mantidos os demais parâmetros) de modo a resultar em valores de Q diferentes. Quanto maior o valor de R (menor Q), mais achatada é a curva.

Por atenuarem sinais que se afastam da ressonância, circuitos deste tipo são amplamente empregados quando se deseja uma separação ou seleção de sinais, como sintonizadores e filtros. Portanto, o fator Q é uma medida da seletividade do circuito e o seu valor deve ser definido de acordo com a aplicação.

Fig 02

Na realidade, o fator Q está ligado à largura de banda B (bandwidth, em inglês) do circuito, que é definida pela faixa de freqüências cuja potência é maior ou igual à metade da potência máxima, que, por sua vez, é a potência dissipada na freqüência de ressonância.

A Figura 02 dá uma curva típica de um circuito RLC conforme equação da corrente vista em página anterior. Trabalha-se com velocidade angular ω em vez de freqüência f para simplificar as fórmulas conforme já mencionado.

A corrente máxima é a da ressonância I₀ = V_p / R porque, nessa situação, a impedância é puramente resistiva.

Desde que a potência é proporcional ao quadrado da corrente, metade da potência máxima equivale á máxima corrente dividida por √ 2. Então, a largura de banda é definida pelos valores ω₁ e ω₂ tais que

I₁ = I₂ = I₀/ √ 2 = V_p / (R √ 2).

De acordo com #C.1# da página anterior,

I_p = V_p / √ [ R² + (ωL − 1/ωC)² ].

Substituindo o valor anterior da corrente,

V_p / √ [R² + (ωL − 1/ωC)²] = V_p / (R √ 2) = V_p / √ (2 R²). Simplificando,

(ωL − 1/ωC)² = R². A solução dessa equação é simples e aqui não é desenvolvida. Notar, entretanto, que ela admite 4 soluções e que se deve desprezar as de valores negativos porque não têm sentido prático. O resultado final é

ω_2,1 = √ [ (R/2L)² + (1/LC) ] ± (R/2L) #C.1#.

Portanto, a largura de banda é dada por

B = ω₂ − ω₁ = R / L #D.1#.

Combinando a igualdade acima com #B.1#, chega-se à fórmula do fator de qualidade em função da velocidade angular de ressonância e da largura de banda:

Q = ω₀ / B #E.1#.

Circuito básico RLC paralelo

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No circuito RLC série visto em página anterior, supõe-se implicitamente uma fonte de tensão de referência e calcula-se a corrente circulante. No arranjo paralelo básico da Figura 01, é suposta uma corrente de referência fornecida pela fonte e o comportamento da tensão V é o parâmetro a determinar.

Desde que os elementos estão em paralelo, a impedância resultante é calculada de forma idêntica à de uma associação paralela de resistências.

1/Z = A = 1/R + 1/(jωL) + 1/(−j/ωC).

A = 1/R + j (ωC − 1/ωL). O módulo da A é dado por:

Fig 01

A = √ [ (1/R)² + (ωC − 1/ωL)² ].

E o ângulo

φ_A = tan⁻¹ [ (ωC − 1/ωL)/(1/R) ].

φ_A = tan⁻¹ [ R (ωC − 1/ωL) ].

Sendo Z o inverso de A, na forma exponencial ocorre

Z = 1/A = (1/A) e^j(−φA⁾. Então, o módulo da impedância é

Z = 1 / √ [ (1/R)² + (ωC - 1/ωL)² ] #A.1#.

E o ângulo de defasagem φ = − tan⁻¹ [ R (ωC − 1/ωL) ] #A.2#.

Fig 02

Da relação V = Z I, obtém-se a tensão de pico em termos da corrente de pico da fonte

V_p = I_p / √ [ (1/R)² + (ωC − 1/ωL)² ] #B.1#.

Portanto, a tensão é máxima quando (ωC − 1/ωL) é nulo, isto é, o circuito se encontra em ressonância (ver gráfico da Figura 02).

Da igualdade (ωC − 1/ωL) = 0 é deduzida a velocidade angular de ressonância:

ω₀ = 1 / √ LC #B.2#.

Notar que é a mesma fórmula do circuito RLC série. E a freqüência de ressonância é

f₀ = ω₀ / 2 π = 1 / (2 π √ LC) #C.1#.

Os mesmos conceitos de largura de banda e fator de qualidade, vistos no tópico anterior para o circuito em série, são aplicáveis. O desenvolvimento matemático é similar e aqui não é dado. Os resultados são:

ω_2,1 = √ [ (1/2RC)² + (1/LC) ] ± (1/2RC) #D.1#.

Largura de banda B = ω₂ − ω₁ = 1/RC #E.1#.

Fator de qualidade Q = ω₀ / B = R √ (C/L) #F.1#.