Máxima transferência de potência

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No tópico anterior, foi dado um exemplo de cálculo da potência ativa transmitida da fonte para a carga. Neste tópico, considera-se uma situação genérica conforme Figura 01:

Uma fonte ideal V_s em série com uma impedância Z_s, que alimenta uma carga de impedância Z.

Fig 01

Em módulo, a corrente é dada por

I_ef = V_{s ef} / |Z_s + Z|.

A potência ativa na carga é

P = I_ef² R = R V_{s ef}² / |Z_s + Z|² #A.1#.


As impedâncias complexas são,

Z_s = R_s + j X_s #A.2#.

Z = R + j X #A.3#.

A soma delas é dada por

Z_s + Z = (R_s + R) + j (X_s + X).

E o módulo da soma é

|Z_s + Z|² = (R_s + R)² + (X_s + X)².

Substituindo na igualdade #A.1#,

P = R V_{s ef}² / [ (R_s + R)² + (X_s + X )²] #B.1#.

Para determinar o máximo valor dessa potência em relação aos parâmetros de resistências e reatâncias, deve-se usar derivadas parciais para cada e igualar a zero. Mas, no caso das reatâncias, desde que elas podem ser negativas, nota-se facilmente que o valor máximo ocorre com

Fig 02

(X_s + X) = 0 ou

X_s = − X #B.2#.

No caso das resistências, precisa-se desenvolver as derivadas porque elas não podem ser negativas.

A igualdade #B.1# pode ser reagrupada para

P = V_{s ef}² / [ (1/R) (R_s + R)² + (1/R) (X_s + X )²].

Desde que o valor máximo é procurado, pode-se considerar a condição #B.2# e a relação fica reduzida a

P' = V_{s ef}² / [R_s²/R + 2 R_s + R], que deve ser máximo.

Pode-se derivar toda a expressão acima. Entretanto, é mais fácil usar apenas o denominador, que deve ser mínimo para valor máximo de P, isto é,

[R_s²/R + 2 R_s + R] #C.1# deve ser mínimo.

Neste caso, a derivada deve ser nula.

∂ [R_s²/R + 2 R_s + R] / ∂R = −R_s²/R² + 1 = 0.

A solução dessa equação é

R = ± R_s.

Para saber qual solução indica valor mínimo, deve-se usar a segunda derivada

∂² [R_s²/R + 2 R_s + R] / ∂R² = 2 R_s²/R³.

Ela deve ser positiva para valor mínimo, o que confirma a realidade física, porque resistências não são negativas.

Se #C.1# é mínimo, a potência é máxima com

R = R_s #C.2#.

Aplicando as condições #B.2# e #C.2# às igualdades #A.2# e #A.3#, conclui-se facilmente que, para máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado complexo da impedância da fonte:

Z = Z_s* #D.1#.

Aplicando essa condição a #A.1#, o valor da potência máxima transferida é

P_max = V_{s ef}² / (4 R) #D.2#. Com R = R_s.

Na prática pode-se dizer que, na condição de máxima transferência de potência, o circuito da Figura 01 deve ser equivalente ao da Figura 02 com R_s = R e X_s = − X. Uma reatância deve ser capacitiva e a outra, indutiva devido à oposição de sinais. E isso forma um circuito ressonante em série, tema que é tratado em páginas posteriores.