Potência complexa: exemplo de cálculo

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No circuito da Figura 01, uma fonte de tensão senoidal V_s em série com uma resistência R_s alimenta uma carga composta por uma resistência R em paralelo com um indutor L. São dados os valores:

V_s = 110 V /_ 0 rad.
R_s = 5 Ω.
R = 10 Ω.
X_L = 5 Ω.

Analisar a potência complexa do circuito conforme figura e do circuito sem o indutor na carga (Figura 02).

A impedância da carga Z é calculada da mesma forma que resistências em paralelo (lembrar que a impedância de L é j X_L):

1 / Z = 1 / R + 1 / (j X_L). Rearranjando a igualdade,

Z = (R j X_L) / (R + j X_L) = J 50 / (10 + j 5) ≈ (50 /_ 1,57) / (11,18 /_ 0,463) ≈ 4,472 Ω /_ 1,107 rad.

Em coordenadas retangulares, Z ≈ 2,00 + j 4,00.

Fig 01

R_s e Z formam um divisor de tensão para V e ela pode ser facilmente calculada:

V = V_s Z / (R_s + Z).

V = (110 /_ 0) (4,472 /_ 1,107) / (5 + 2,00 + j 4,00).

V ≈ (110 /_ 0) (4,472 /_ 1,107) / (8,062 /_ 0,519).

V ≈ 61,02 /_ 0,588.

E a corrente I é dada por I = V / Z = (61,02 /_ 0,588) / (4,472 /_ 1,107) ≈ 13,64 A /_ −0,519 rad.

Notar o ângulo negativo da corrente, significando que ela é atrasada em relação à tensão V_s (110 V /_ 0 rad), conforme esperado para um conjunto com componentes indutivos.

A potência complexa na carga é dada pela fórmula já vista:

S = V I* = (61,02 /_ 0,588) (13,64 /_ 0,519).

S ≈ (832,3 /_ 1,107) ≈ (372 + j 744) VA. Portanto,

Potência aparente = √(372² + 744²) ≈ 832 VA.

Potência ativa = 372 W.

Potência reativa = 744 VAR.

Fator de potência: cos φ = 372 / 832 ≈ 0,45.

A potência complexa fornecida pela fonte é

S_s = V_s I* = (110 /_ 0) (13,64 /_ 0,519) ≈ (1500 /_ 0,519) ≈ (1302 + j 744) VA. Portanto,

Potência aparente = √(1302² + 744²) ≈ 1500 VA.

Potência ativa ≈ 1302 W.

Potência reativa ≈ 744 VAR.

Fator de potência: cos φ = 1302 / 1500 ≈ 0,87.

Então, a real transferência de potências pode ser considerada a relação percentual entre potências ativas da carga e da fonte:

100 372 / 1302 ≈ 29 %.

Fig 02

Na Figura 02, o mesmo circuito anterior sem o indutor. O cálculo é feito considerando os mesmos valores de tensão e resistências.

Z = R = (10 /_ 0).

I = V_s / (R_s + Z) = (110 /_ 0) / (15 /_ 0) ≈ 7,33 /_ 0.

V = I Z = (7,33 /_ 0) (10 /_ 0) ≈ 73,3 /_ 0.

S = V I* = (73,3 /_ 0) (7,33 /_ 0) ≈ (537 /_ 0) = (537 + j 0) VA.

S_s = V_s I* = (110 /_ 0) (7,33 /_ 0) ≈ (806 /_ 0) = (806 + j 0) VA.

Relação percentual entre potências ativas 100 537 / 806 ≈ 67%.

Comparando com o resultado anterior, nota-se que a transferência de potência é significativamente maior quando a parte reativa da carga é eliminada.

Grande parte das cargas práticas são indutivas como motores e transformadores. Capacitores em paralelo e adequadamente dimensionados podem contrabalançar a indutância porque as reatâncias indutiva e capacitiva têm sinais opostos.

Esse é o princípio da correção do fator de potência em instalações elétricas. Se a parte reativa da impedância é anulada, ocorre S = P. Assim, cos φ = 1 e a potência transferida é máxima.