Impedância complexa (cont)

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Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1#	Z retang	Z exp
Resistor	R + j 0	R
Indutor	0 + j ω L	ω L ejπ/2
Capacitor	0 − j / (ω C)	[ 1/(ω C) ] e−jπ/2

Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Fig 01

Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Z_eq) = (1/Z₁) + (1/Z₂) + … + (1/Z_n) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Z_eq = Z₁ + Z₂ + … + Z_n #B.2#.

Fasores

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Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = V_p cos ωt.
i = I_p cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = X_p cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = X_p e^{j(ωt + φ)} #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = X_p e^jφ e^jωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo e^jωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V₁, V₂ e V₃ tais que V₁ = V₂ + V₃. Usando a forma #A.2#,

V_1p e^jφ₁ e^jωt = V_2p e^jφ₂ e^jωt + V_3p e^jφ₃ e^jωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = X_p e^jφ #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico X_p e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: V_p/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: I_p/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.


Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

V_th = V_ab (tensão com os terminais abertos).
Z_th = V_th / I_cc, onde I_cc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Fig 01

V = 12 V /_ 0 rad.
Z₁ = 3 Ω /_ 0,5 rad.
Z₂ = 2 Ω /_ 0,5 rad.
Z₃ = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z₂. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z₁ e Z₃.


V_th = V Z₃ / (Z₁ + Z₃) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Fig 02

Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z₁ em série com a associação paralela Z₂ e Z₃.

Z₂ || Z₃ = (Z₂ Z₃) / (Z₂ + Z₃).

Z₂ || Z₃ = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z₁ + (Z₂ || Z₃) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z₁ + (Z₂ || Z₃) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z₂, que fica em paralelo com Z₃. Portanto,

I_cc = I Z₃ / (Z₂ + Z₃) = I / (1 + Z₂/Z₃ ).

I_cc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Z_th = V_th / I_cc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.