Representação complexa para tensão e corrente senoidais

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Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = V_p cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a V_p sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

V_p cos ωt + a V_p sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = V_p cos ωt + j V_p sen ωt = V_p e^jωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ V_p e^jωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.

	Forma trigonométrica	Forma complexa exponencial
Tensão	v = Vp cos ωt	V = Vp ejωt	#B.1#
Corrente	i = Ip cos (ωt + φ)	I = Ip ej(ωt + φ)	#C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φ_v e φ_i, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Impedância complexa

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Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = V_p e^jωt e I = I_p e^{j(ωt + φ)}, a divisão dos números complexos resulta em

Z = (V_p / I_p) e^−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Fig 01

Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

Z_R = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Fig 02

Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = I_p e^{j(ωt + φ)}. A soma no expoente pode ser separada:

I = I_p e^{j φ} e^{j ωt}. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt}. E a impedância é Z_L = V/I = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt} / [I_p e^{j φ} e^{j ωt}].

Simplificando, Z_L = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

Z_L = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva X_L, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Fig 03

Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = V_p e^jωt, pode ser introduzida nessa fórmula:


I = j ω C V_p e^jωt. E a impedância é Z_C = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

Z_C = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva X_C. Ver Figura 03.

Fig 04

Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (V_p / I_p) e^−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = V_p / I_p, tem-se

Z = Z e^−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z² = R² + X² #F.2#.

φ = tan⁻¹ X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.