Integrador e diferenciador

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O circuito da Figura 01 abaixo é o circuito do tópico Filtro RC. A tensão de saída é

v_o = R i = R I_p sen ωt = R { V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ] } sen ωt #A.1#, de acordo com igualdades deduzidas no mesmo tópico. Simplificando,

Fig 01

v_o = V_p / √ [ 1 + (1/RωC)² ] sen ωt #A.2#.

Supõe-se agora que a freqüência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é pequeno,

RωC << 1 #B.1#.


Nessa condição, a igualdade anterior (#A.2#) pode ser escrita na forma aproximada

v_o ≈ V_p RωC sen ωt #B.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #C.1#.

Considerando a hipótese #B.1#, φ ≈ − π/2 #C.2#.

A tensão de entrada é v_i = V_p sen(ωt + φ) #C.3#.

v_i = V_p sen(ωt − π/2) = V_p cos ωt #C.4#.

Se tomada a derivada de v_i em relação ao tempo, o resultado é

dv_i/dt = − V_p ω sen ωt #C.5#.

Da igualdade anterior #B.2#, conclui-se facilmente que

v_o ≈ − RC dv_i/dt #D.1#.

Ou seja, na aproximação considerada, o circuito atua como um diferenciador.


Analisa-se agora a tensão no capacitor v_C.

Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C v_C. Mas a corrente é dada por i = dq/dt. Portanto,

i = C dv_C/dt #E.1#.

A tensão é obtida pela integração da expressão acima:

v_C = ∫ (1/C) i dt = (1/C) ∫ i dt = (1/C) ∫ I_p sen ωt dt = − ( I_p / ωC ) cos ωt #E.2#.

Segundo #E.2# do tópico Filtro RC,

I_p = V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ].

Substituindo esse valor de I_p em #E.2# deste tópico,

v_C = − { V_p / √ [R² + (1/ωC)²] / ωC } cos ωt = − { V_p / R √ [1 + (1/RωC)²] / ωC } cos ωt #E.3#.

Neste caso, supõe-se que a freqüência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

RωC >> 1 #F.1#.

E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

v_C ≈ − [ V_p / (RωC) ] cos ωt #F.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #G.1#.

Portanto, na hipótese #F.1#, φ ≈ 0 #G.2#.

Pela definição de tensão alternada, a tensão de entrada é

v_i = V_p sen(ωt + φ) ≈ V_p sen ωt porque φ ≈ 0 #G.3#.

Da igualdade anterior #F.2#, pode-se concluir que, neste caso, vale

v_C ≈ (1/RC) ∫ v_i dt #H.1#.

Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas, para tensão de saída tomada sobre o capacitor.