Filtro RL

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No circuito da Figura 01, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal v_i. Deseja-se saber a tensão sobre o resistor v_o em função da tensão de entrada e dos valores R e L.

De acordo com a lei das tensões de Kirchhoff,

v_i = v_R + v_L = R i + L di/dt #A.1#.

Se a tensão de entrada v_i é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela tem a formulação:

i = I_p sen ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω I_p cos ωt.Substituindo em #A.1#,

Fig 01

v_i = R I_p sen ωt + ω L I_p cos ωt #B.1#.

Mas v_i é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Portanto,

v_i = V_p sen(ωt + φ) #B.2#, onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente.

Usando relações trigonométricas,

v_i = V_p cos φ sen ωt + V_p sen φ cos ωt #C.1#.

Substituindo em #B.1#,

R I_p sen ωt + ω L I_p cos ωt = V_p cos φ sen ωt + V_p sen φ cos ωt #C.2#.

Pode-se supor que os coeficientes de sen ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

R I_p = V_p cos φ #D.1#.

ω L I_p = V_p sen φ #D.2#. Dividindo ambas, tan φ = ω L / R #D.3#.

Elevando #D.1# ao quadrado e reagrupando, V_p² = R² I_p² / cos²φ #E.1#.

Agora, é aplicada a igualdade trigonométrica 1 + tan²φ = 1 / cos²φ #E.2#. Substituindo em #E.1#,

V_p² = R² I_p² (1 + tan²φ) = R² I_p² ( 1 + ω² L² / R² ) = I_p² (R² + ω² L²). Ou

V_p = I_p √ (R² + ω² L²) #E.3# Substituindo em #B.2#,.

v_i = I_p √ (R² + ω² L²) sen(ωt + φ) #F.1#, onde tan φ = ω L / R #F.2#.

Fig 02

A tensão de saída é a tensão no resistor

v_o = v_R= R i = R I_p sen ωt #G.1#.

Portanto, o valor de pico da tensão de saída é

V_op = R I_p #G.2#.

Para a entrada, conforme #F.1#,

V_ip = I_p √ (R² + ω² L²) #G.3#.

E a relação entre ambas é

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (ω L/ R)² ] #H.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (2 π f L/ R)² ] #H.2#.

O gráfico da Figura 02 dá exemplo típico da variação de V_op / V_ip com a freqüência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da freqüência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.

Filtro RC

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No circuito da Figura 01 deste tópico, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal v_i e a tensão de saída v_o é a tensão no resistor.

v_i = V_p sen(ωt + φ) #A.1#.

Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor.

Das relações de eletricidade, para o capacitor: q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância.

Portanto, v_i = q/C + R i. Ou V_p sen(ωt + φ) = q/C + R i #A.2#.

Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

Fig 01

ω V_p cos(ωt + φ) = R di/dt + (1/C) i #A.3#.

Para a corrente alternada,

i = I_p sen ωt #B.1#.

Portanto, di/dt = ω I_p cos ωt #B.2#. Substituindo esse valor em #A.3#,


ω V_p cos(ωt + φ) = R ω I_p cos ωt + (I_p/C) sen ωt #B.3#.

Usa-se agora a identidade trigonométrica

cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sen ωt sen φ #C.1#. Substituindo,

ω V_p cos ωt cos φ − ω V_p sen ωt sen φ = R ω I_p cos ωt + (I_p/C) sen ωt.

(ω V_p cos φ − R ω I_p) cos ωt − [ω V_p sen φ + (I_p/C)] sen ωt = 0 #D.1#.

Para ωt = 0, cos ωt = 1 e sen ωt = 0. Assim,

ω V_p cos φ = R ω I_p #D.2#.

Para ωt = π/2, cos ωt = 0 e sen ωt = 1. Assim,

ω V_p sen φ = − (I_p/C) #D.3#.

Dividindo as igualdades,

sen φ / cos φ = − (I_p/C) / R ω I_p. Portanto, tan φ = − 1 / (R ω C) #D.4#.

Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade #D.2#,

V_p² cos²φ = R² I_p² #D.5#.

Usando a identidade trigonométrica cos²φ = 1 / (1 + tan²φ) #E.1# e substituindo em #D.5#,

Fig 02

V_p² / [ 1 + (1/R ω C)² ] = R² I_p².

I_p² = V_p² / [ R² + (1/ωC)² ].

I_p = V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ] #E.2#. Ou

V_p = I_p √ [ R² + (1/ωC)² ] #E.3#.

Substituindo esse valor em #A.1#,

v_i = { I_p √ [R² + (1/ωC)²] } sen(ωt + φ) #F.1#.

A tensão da saída é v_o = v_R = R i = R I_p sen ωt #F.2#.

Dividindo os valores de pico de #F.1# e #F.2#,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (1/RωC)² ] #G.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (1/R 2 π f C)² ] #G.2#.

A Figura 02 dá um gráfico típico da variação de V_op / V_ip com a freqüência e demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as freqüências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.